FM算法解析及Python实现

2023-11-03

1. 什么是FM？

FM即Factorization Machine，因子分解机。

2. 为什么需要FM？

1、特征组合是许多机器学习建模过程中遇到的问题，如果对特征直接建模，很有可能会忽略掉特征与特征之间的关联信息，因此，可以通过构建新的交叉特征这一特征组合方式提高模型的效果。

2、高维的稀疏矩阵是实际工程中常见的问题，并直接会导致计算量过大，特征权值更新缓慢。试想一个10000100的表，每一列都有8种元素，经过one-hot独热编码之后，会产生一个10000800的表。因此表中每行元素只有100个值为1，700个值为0。

而FM的优势就在于对这两方面问题的处理。首先是特征组合，通过对两两特征组合，引入交叉项特征，提高模型得分；其次是高维灾难，通过引入隐向量（对参数矩阵进行矩阵分解），完成对特征的参数估计。

3、 FM用在哪？

我们已经知道了FM可以解决特征组合以及高维稀疏矩阵问题，而实际业务场景中，电商、豆瓣等推荐系统的场景是使用最广的领域，打个比方，小王只在豆瓣上浏览过20部电影，而豆瓣上面有20000部电影，如果构建一个基于小王的电影矩阵，毫无疑问，里面将有199980个元素全为0。而类似于这样的问题就可以通过FM来解决。

4、 FM长什么样？

在展示FM算法前，我们先回顾一下最常见的线性表达式：
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其中w0 为初始权值，或者理解为偏置项，wi 为每个特征xi 对应的权值。可以看到，这种线性表达式只描述了每个特征与输出的关系。

FM的表达式如下，可观察到，只是在线性表达式后面加入了新的交叉项特征及对应的权值。
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5、 FM交叉项的展开

5.1 寻找交叉项

FM表达式的求解核心在于对交叉项的求解。下面是很多人用来求解交叉项的展开式，对于第一次接触FM算法的人来说可能会有疑惑，不知道公式怎么展开的，接下来手动推导一遍。
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上面式子第一步推导如下：

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设有3个变量（特征）x1 x2 x3，每一个特征的隐变量分别为v1=(1 2 3)、v2=(4 5 6)、v3=(1 2 1)，即：

所以：

实际上，我们应该考虑的交叉项应该是排除自身组合的项，即对于x1x1、x2x2、x3x3不认为是交叉项，那么真正的交叉项为x1x2、x1x3、x2x1、x2x3、x3x1、x3x2。
去重后，交叉项即x1x2、x1x3、x2x3。这也是公式中1/2出现的原因。

5.2 交叉项权值转换

对交叉项有了基本了解后，下面将进行公式的分解，还是以n=3为例，
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所以：

wij可记作(ViVjT)或(viTvj)，这取决于vi是13 还是31 向量。

5.3 交叉项展开式

上面的例子是对3个特征做的交叉项推导，因此对具有n个特征，FM的交叉项公式就可推广为：
在这里插入图片描述
我们还可以进一步分解：

所以FM算法的交叉项最终可展开为：

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5.4 隐向量v就是embedding vector?

假设训练数据集dataMatrix的shape为（20000，9)，取其中一行数据作为一条样本i，那么样本i 的shape为（1，9），同时假设隐向量vi的shape为（9，8）（注：8为自定义值，代表embedding vector的长度）

所以5.3小节中的交叉项可以表示为：

sum((inter_1)^2 - (inter_2)^2)/2

其中：

inter_1 = i*v shape为（1，8）

inter_2 = np.multiply(i)*np.multiply(v) shape为（1，8）

可以看到，样本i 经过交叉项中的计算后，得到向量shape为（1，8）的inter_1和 inter_2。

由于维度变低，所以此计算过程可以近似认为在交叉项中对样本i 进行了embedding vector转换。

故，我们需要对之前的理解进行修正：

我们口中的隐向量vi实际上是一个向量组，其形状为（输入特征One-hot后的长度，自定义长度）；
隐向量vi代表的并不是embedding vector，而是在对输入进行embedding vector的向量组，也可理解为是一个权矩阵；
由输入i*vi得到的向量才是真正的embedding vector。

具体可以结合第7节点的代码实现进行理解。

6、权值求解

利用梯度下降法，通过求损失函数对特征（输入项）的导数计算出梯度，从而更新权值。设m为样本个数，θ为权值。

如果是回归问题，损失函数一般是均方误差（MSE）:

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所以回归问题的损失函数对权值的梯度（导数）为：

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如果是二分类问题，损失函数一般是logit loss：

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其中，表示的是阶跃函数Sigmoid。

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所以分类问题的损失函数对权值的梯度（导数）为：

相应的，对于常数项、一次项、交叉项的导数分别为:

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7、FM算法的Python实现

FM算法的Python实现流程图如下：

在这里插入图片描述

我们需要注意以下四点：

初始化参数，包括对偏置项权值w0、一次项权值w以及交叉项辅助向量的初始化；
定义FM算法；
损失函数梯度的定义；
利用梯度下降更新参数。

下面的代码片段是以上四点的描述，其中的loss并不是二分类的损失loss，而是分类loss的梯度中的一部分：

loss = self.sigmoid(classLabels[x] * p[0, 0]) -1

实际上，二分类的损失loss的梯度可以表示为：

gradient = (self.sigmoid(classLabels[x] * p[0, 0]) -1)*classLabels[x]*p_derivative

其中 p_derivative 代表常数项、一次项、交叉项的导数（详见本文第6小节）。

FM算法代码片段

 		   # 初始化参数
 2         w = zeros((n, 1))  # 其中n是特征的个数
 3         w_0 = 0.
 4         v = normalvariate(0, 0.2) * ones((n, k))
 5         for it in range(self.iter): # 迭代次数
 6             # 对每一个样本，优化
 7             for x in range(m):
 8                 # 这边注意一个数学知识：对应点积的地方通常会有sum，对应位置积的地方通常都没有，详细参见矩阵运算规则，本处计算逻辑在：http://blog.csdn.net/google19890102/article/details/45532745
 9                 # xi·vi,xi与vi的矩阵点积
10                 inter_1 = dataMatrix[x] * v
11                 # xi与xi的对应位置乘积   与   xi^2与vi^2对应位置的乘积    的点积
12                 inter_2 = multiply(dataMatrix[x], dataMatrix[x]) * multiply(v, v)  # multiply对应元素相乘
13                 # 完成交叉项,xi*vi*xi*vi - xi^2*vi^2
14                 interaction = sum(multiply(inter_1, inter_1) - inter_2) / 2.
15                 # 计算预测的输出
16                 p = w_0 + dataMatrix[x] * w + interaction
17                 print('classLabels[x]:',classLabels[x])
18                 print('预测的输出p:', p)
19                 # 计算sigmoid(y*pred_y)-1准确的说不是loss，原作者这边理解的有问题，只是作为更新w的中间参数，这边算出来的是越大越好，而下面却用了梯度下降而不是梯度上升的算法在
20                 loss = self.sigmoid(classLabels[x]

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