人工智能数学基础---定积分2：定积分的性质

一、引言

在《人工智能数学基础—定积分1：定积分的概念以及近似计算》介绍了定积分的概念、几何意义、用定义来求定积分的案例以及使用矩形法、梯形法和抛物线法求定积分近似值的方法和案例等基础知识，根据上文的介绍，结合相关知识补充如下2条规则：

可以知道，交互积分区间的上下限，则定积分的绝对值不变但符号相反。

二、性质

2.1、性质1：定积分的线性运算

设α和β为常数，函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，则：

即定积分满足加法和数乘的线性运算规则，证明过程如下：

上述公式中λ为可积区间分成n分后的最大区间值。

实际上，该规则对于任意有限个可积函数的线性组合同样成立。

2.2、性质2：积分区间可加性

设函数f(x)在区间[a,b]上可积，设a<c<b，则：

这个证明很简单，根据定积分的定义及极限即可以快速证明。

实际上，根据积分的补充规则，上述公式对于不满足a<c<b的情况只要三者在一个连续区间上，其中一个属于该区间内的一点同样成立，而不需要确认谁在前、谁在后。

2.3、性质3：恒等于1的函数积分

如函数f(x)在区间[a,b]上恒等于1，则：

2.4、性质4：积分保号性

如果函数f(x)在区间[a,b]上恒大于等于0，则：

根据积分定义即可证明。

推论1：如果在区间[a,b]上函数f(x)≤g(x)且二者可积，则：

推论2：如果在区间[a,b]上函数f(x)可积，则：

2.5、性质5：有界函数的积分

设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，且函数f(x)可积，则：

根据这个性质，可以根据被积函数的最大值和最小值，估算积分值的范围。
证明：

2.6、性质6：定积分中值定理

2.6.1、定理

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么在区间[a,b]上至少存在一点ξ，使得：

这个公式叫做积分中值公式。其中：

称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值。

证明：
由《人工智能数学基础6：极限、极限运算、ε-δ语言、ε-N语言、级数和函数连续性》介绍可知，闭区间上的连续函数在该区间上一定有界，存在最大值M、最小值m，且有介值性。

因此根据性质5有：

这表明，而：

一定是一个确定的值，按照连续函数介值性，则在区间[a,b]上至少存在一点ε，使得：

两边乘以b-a即可得证。

说明：无论a>b还是a<b，积分中值公式都成立。

2.6.2、几何解释

积分中值公式有如下的几何解释：在区间[a，b]上至少存在一点ε，使得以区间[a，b]为底边、以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ε)的一个矩形的面积(图5-5)。

三、小结

本文介绍了定积分的性质，包括线性组合运算、保号性、区间可加性、积分中值定理等。

说明：

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