前言
我们都知道，数据结构和算法本身解决的是 “快” 和 “省” 的问题，即如何让代码运行得更快，如何让代码更生存储空间。所以，执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量我们编写的算法代码的执行效率呢？那就是时间、空间复杂度分析。
为什么需要复杂度分析？
我们知道在算法中有一种事后统计法，这种方法就是将代码执行一遍，通过统计、监控等方式就能得到算法执行时间和占用空间的内存大小。但是这种时候统计方法有非常大的局限性。
1. 测试结果非常依赖测试环境
同样的代码在Intel Core i9处理器和 Intel Core i3 处理器来运行，不用说，i9 处理器肯定要比 i3 处理器执行的速度要快一些。再者，比如原本在这台机器上是 a 代码执行的速度比 b 代码要快，等我们换到另一台机器上时，可能会有截然相反的结果。
2. 测试结果受数据规模的影响很大
在排序算法中，待排序的数据有序度不一样，排序的执行时间会有很大的差别。极端情况下，如果数据已经是有序的，那排序算法不需要做任何操作，执行时间就会非常短。初次之外，如果测试数据规模太小，测试结果可能也无法真实地反映出算法的性能。
所以，我们需要一个不用具体测测试数据来测试，就可以大致的估计算法的执行效率的方法。这就是时间、空间复杂度分析方法。
大 O 复杂度表示法
算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。但是，如何在不运行代码的情况下，用 “肉眼” 得到一段代码的执行时间呢？
下面用一段简单的代码，求 1,2,3....n 的累加和。来分析一下执行时间。
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; i++) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
从 CPU 的角度看，这段代码的每一行都执行这类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略的估计，所以可以假设每行代码的执行时间都是一样的，为 unit_time。在这个假设的基础之上，求算这段代码的总执行时间。
第 2、3行代码都只执行了一遍，第4、5行都执行了 n 遍，所以，这段代码的总的执行时间就是 (2n + 2)个 unit_time。可以看出，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
还是同样的思路，分析一下下面的代码段。
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; i++) {
j = 1;
for (; j <= n; j++) {
sum = sum + i * j;
}
}
return sum;
}
我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。现在来分析这段代码的总执行时间 T(n)。
第2、3、4行代码，每行都只执行一次，共需要 3 * unit_time的执行时间，第5、6行代码循环执行了 n 遍，需要 2n * unit_time 的执行时间，第 7、8行代码循环执行了 n² 遍，所以需要 2n² * unit_time 的执行时间。所以，整段代码总的执行时间： T(n) = (2n² + 2n + 3) * unit_time。
我们不需要知道 unit_time 的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比。如下：
T(n) = O(f(n))
其中，T(n) 表示代码的执行时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) （类似于中学数学中的函数）来表示。公式中的 O ,表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。
所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n + 2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n² + 2n + 3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
注意：渐渐复杂度，表示的是代码执行时间随数据规模(这里用N表示)的变化趋势。而公式中的低阶、常量和系数三部分并不左右增长趋势，可以不去考虑。因此，在分析时间复杂度的时候，我们只关注循环次数最多的一段代码就可以了，这段代码的执行次数 n 的量级，就是整段代码的时间复杂度。
时间复杂度分析方法
方法一：加法法则
原则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
下面一段代码我们可以试着用加法法则分析一下其复杂度：
int cal (int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; p++) {
sum_1 = sum_1 + p;
}
int sum_2 = 0;
int q = 1;
for (; q < n; q++) {
sum_2 = sum_2 + q;
}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
这个代码分为三部分，分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段代码，求sum_1，核心代码执行了100次，是一个常量与数据规模 n 无关。
无论执行多少次，只要是一个已知的数字，跟 n 无关，就视为常量级的执行时间。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是它本身对时间的增长趋势并没有影响。
第二段代码，求sum_2，核心代码执行了 n 次，所以时间复杂度是 O (n)
第三段代码，求sum_3，是一个嵌套for循环，核心代码执行了 n² 次，所以时间复杂度是 O(n²)。
综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的执行时间随数据规模 n 的变化趋势就取决于第三段代码（我认为可以理解成，只要第三段代码执行完了，其他两段可能都执行完了）。也就是说，总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。将这个规律抽象成公式就是：
如果 T1(n) = O(f(n))，T2(n) = O(g(n))；那么 T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n)), O(g(n))) = O(max(f(n), g(n)));
方法二：乘法法则
原则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。
类比加法法则，乘法法则的公式就是：
如果T1(n) = O(f(n)), T2(n) = O(g(n)); 那么，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n) * g(n));
也就是说，假设 T1(n ) = O(n)，T2(n) = O(n²)，那么 T1(N) * T2(n) = O(n³)。这个法则在嵌套循环中提现的淋漓尽致。代码如下：
int cal(int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; i++){
ret = ret + f(i);
}
}
int f(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for(; i < n; i++) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通操作，那第 4 ~ 6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n * n) = O(n²)。
几种常见时间复杂度实例分析
常见的时间复杂度量级有：常量阶（O(1)）、对数阶（O(logn)）、线性阶（O(n)）、线性对数阶（O(nlogn)）、平方阶（O(n²)）、指数阶（O(2^n)）和阶乘阶（O(n!)）。
在常见的复杂度量级中，分为多项式量级和非多项式量级。其中非多项式量级只有两个：O(2^n) 和 O(n!)。当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间回无线增长。所以，非多项式时间复杂度的算法是非常低效的算法。
1. 常量阶 O(1)
O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是只执行了一行代码。只要代码的执行时间不随 n 的增大而增大，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，其时间复杂度就是 O(1)。
int i = 0;
int j = 6;
int sum = i + j;
2. 对数阶（O(logn)）和线性对数阶（O(nlogn)）
对数阶时间复杂度非常常见，同时也比较难分析。以下代码就是对数阶的体现。
int i = 1;
while (i < = n) {
i = i* 2;
}
这段代码中，第三行代码是执行次数最多的。所以，只要计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2 。当大于 n 时，循环结束。代码中 i 的取值就是一个公比为 2 的等比数列。i 的取值如下：
2º 2¹ 2² 2³ ..... 2 ^ x = n
所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道了这行代码的执行次数了。通过 2 ^ x = n 求解这个问题。高中数学讲究指对函数是一家，所以就有，x = log₂n。所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log₂n)。
现在，将代码稍微改动如下，在看一下时间复杂度是多少？
int i = 1;
while (i < = n) {
i = i * 3;
}
按刚才的思路分析一下，这段代码的时间复杂度为 O(log₃n)。
实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。原因如下：
中学数学中，在讲述对数函数的时候有一个很重要的换底公式：
loga(b) = logc(b) / logc(a)
所以，就有 log₂n = log₃n / log₃2，log₃n = log₃2 * log₂n。所以就有，O(log₃n) = O(C * log₂n)，因为 log₃2 一定是一个确定的常量。基于前面说的：采用 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log₂n) 就等价于O(log₃n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们可以忽略对数的 “底”，统一表示为 O(logn)。
对于，O(nlogn)就比较容易了，根据乘法法则，我们对上述代码循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn)了。而且，O(nlogn)也是一种比较常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快读排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
3. O(m + n)、O(m * n)
还有一种代码的复杂度由两个数据的规模来决定的情况。代码如下：
int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; i++) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; j++) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法实现评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单的利用加法法则，省略掉其中一个了。所以，这种情况的时间复杂度就是 O(m + n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不适用了，我们需要将加法法则改为： T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n)) 。但是乘法法则仍然有效：T1(m) * T2(n) = O(f(m) * g(n))。当 m == n 时，这就变成了平方阶（O(n²)）了。
空间复杂度分析
时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比之下，空间复杂度就是渐进空间复杂度了，表示算法的存储空间同数据规模之间的增长关系。
分析一段代码：
void print (int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i < n; i++) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
System.out.println(a[i]);
}
}
采用跟时间复杂度一样的分析方法，在第 2 行代码中，申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，第 3 行中申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
常见的空间复杂度是有 O(1)、O(n)、O(n²)，像 O(logn)、O(nlogn)这些一般很少遇到。
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