小伙伴们,大家好呀,相信步入大二的同学们肯定会学到离散数学,而推理规则是离散数学中最fundmental and important 的知识体系。今天我们来说说基本的推理规则。
Firstly:推理(inference rules)是 前提(premise)和结论(conclusion)的组合,也就是说 一个推理要成立,必须有前提和结论组成。如果前提是true,那么所得到的结论也都是true。
Secondly:推理的几个重要方法(第一弹):
第一个是假言推理(Modus Ponens):如果pq 而且我们知道p 那么最后可以推出q
(在逻辑用语中,pq 表示蕴含连接词)
eg:条件语句:如果今天下雪(p),那么我们就去滑雪(q)。它的前提是今天正在下雪为真, 根据假言推理,结论“我们就去滑雪”为真
第二个是取拒式(Modus Tollens):如果pq 我们知道p (非p)就能推出q (非q)
(也就是第一个式子的否定状态)
第三个是假设三段论(Hypothetical syllogism):如果pq qr 那么最后的结论就是pr
推理的重要方法(第二弹):
下一个是析取三段论(Disjunctive Syllogism):如果 pq p 那么我们可以推出q 因为pp=T(重言式也叫永真式)结果为q
下一个是附加律(Addition):给出一个前提p 可以将p和q 用 的符号 链接构成新的等式
eg:现在气温在冰点以下,因此,要么现在气温在冰点一下,要么正在下雨。
设命题(proposition)p为现在气温在冰点以下,q是命题现在正在下雨,所以论证形式如上图
下一个是化简律(Simplification):如果pq是前提,那么由这个前提可以推出p
下一个是合取律(Conjunction):(这里的合取就相当于逻辑链接词中的 ---and)
给出p q两个前提,我们可以推出 pq这样的结论
最后一个是消解律(Resolution):前提分别是两个式子 pq 和 p r 最后得出的结论是q(为什么呢?因为在这里pp= T(Tautology)所以结论就是 qr )
【大家可以看一下上面的图片,比较清晰】
Thirdly: 常见的例子
此题要证明的是非q:以下是给出的前提,所以我们要利用这些前提去推出相应的结论,之后推出非q
step reasons
p t 前提
t 前提
p 取拒式
p q 附加律
p q r 前提
r 假言推理
pr 附加律
prs 前提
s 取拒式
s q 前提
q 合取律
最后我们得出我们要的结论 即 非p
第二个例子:
既然有很多的前提,可能有些小伙伴们不知道该如何入手,那么你先观察我们最后要求什么,看看哪些式子与最后的结果有关系,先去推理出来,之后用推理出来的结果和前提再去组成一系列相关的式子,之后综合以上重要的laws,得出结论。
此外还需要注意推理的相关步骤表达,左边是steps 右边是reasons
Finally:量化命题的推理规则
这里总共有四个重要的量化命题规则,都是比较重要的哦!
① 全称实例(universal instantiation)从给定的前提xP(x) 得出P(c)为真的推理规则
例如我们可以从“所有女人都是聪明的”可以得出“lisa是聪明的”,使用了此规则,其中lisa是论域中的一个元素
②全称引入(universal generalization)对论域里所有元素c都有P(c) 为真的前提推出xP(x) 为真的规则
③ 存在实例(existential Instantiation)如果xP(x) 为真,得出在论域中存在一个元素c使得P(c) 为真的规则 一般我们不知道c是什么,而知道他是存在的,所以给出一个名称c从而论证
④ 存在引入(existential generalization)对论域里所有元素c都有P(c) 为真的前提推出xP(x) 为真的规则 若我们知道论域里一个元素c使得P(c) 为真,我们知道xP(x)为真
Besides: 重要的例子:
证明前提“这个班上有个学生没有读过这本书”和“这个班上的每个人都通过了第一次考试”蕴含结论“通过第一次考试的某个人没有读过这本书”。
首先用逻辑用语表示出所有语句的意思,一句一句的表示清楚,不然后来会乱的。
设的字母主要在前提中,否定的先变成肯定状态,比如这个班上有学生C(x) 表示x在这个班
x读过这本书等等...... (字母随便设置就好啦,反正要的是最后的结论)一切都准备好以后,我们要进入正题了,开始推理。运用刚才四个理论,在推理的过程中,字母x可以换成任意字母,eg,a,b,c.....为了不与x混乱,方便证明。
最后我要的是P(x)和非B(x)的结合,所以我需要导出这两个元素,之后在用存在引用将二者连接 ()
【以上就是推理规则的全部基本内容啦,感兴趣的小伙伴们可以点点赞哦,谢谢哦!】
【 Hope to help you !!!】