【带限制的完全背包】Educational Codeforces Round 133 (Rated for Div. 2) D. Chip Move

题意：
给定 n n n 和 k k k，初始步长为 k k k ，每次可以走 k k k 的倍数次步，下一次走 ( k + 1 ) (k+1) (k+1)的倍数次步，以此类推，问从 0 0 0 开始到达 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 每个点的方案数。

题解：
当每次只走一倍的步数时， ( s t e p + k ) × ( s t e p − k + 1 ) 2 ≤ n \frac{(step+k)\times (step-k+1)}{2}\leq n 2(step+k)×(step−k+1)​≤n，所以最多只会走 O ( n ) O(\sqrt{n}) O(n ​)次。

问题转换为带限制的完全背包问题，走第 i i i 次前，必须已经走了 1 1 1 到 i − 1 i-1 i−1次

f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 表示走了 i i i次，第 i i i 次走完后到达点 j j j 的方案数
第 i i i 次走的步数为 ( k + i − 1 ) (k+i-1) (k+i−1) 的倍数

不带限制的完全背包的模板为：

for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = 0;
f[0] = 1;

for (int step = k; (start = (step + k) * (step - k + 1) / 2) <= n; ++step)
	for (int j = 0; j <= n; ++j)
		if (j >= step) f[i][j] += f[i - 1][j - step];

但是本题的限制为：走第 i i i 次前，必须已经走了 1 1 1 到 i − 1 i-1 i−1次
每次需要强制走一下第 i − 1 i-1 i−1 次，如下：

for (int i = 1; i <= n; ++i) f[0][i] = 0;
f[0][0] = 1;
for (int step = k; (step + k) * (step - k + 1) / 2 <= n; ++step) {
	for (int j = 0; j <= n; ++j)
		if (j >= step) f[i][j] = f[i - 1][j - step];
		else f[i][j] = 0;
	for (int j = 0; j <= n; ++j)
		if (j >= step) f[i][j] += f[i - 1][j - step];
	for (int j = 1; j <= n; ++j) ans[j] += f[j];
}

滚动数组优化一下：

for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = 0;
f[0] = 1;

for (int step = k; (step + k) * (step - k + 1) / 2 <= n; ++step) {
	for (int j = n; j >= 0; --j)
		if (j >= step) f[j] = f[j - step];
		else f[j] = 0;
		
	for (int j = 0; j <= n; ++j)
		if (j >= step) f[j] += f[j - step];
	for (int j = 1; j <= n; ++j) ans[j] += f[j];
}

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 200010;
const int mod = 998244353;

int dp[2][N];
int f[N];
int ans[N];
int n, k;

void add(int& a, int b) {
	a += b;
	if (a >= mod) a -= mod;
}

void solve() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = 0;
	f[0] = 1;
	
	for (int step = k, start; (start = (step + k) * (step - k + 1) / 2) <= n; ++step) {
		for (int j = n; j >= 0; --j)
			if (j >= start) f[j] = f[j - step];
			else f[j] = 0;
			
		for (int j = start; j <= n; ++j)
			if (j >= start) add(f[j], f[j - step]);
		for (int j = 1; j <= n; ++j) add(ans[j], f[j]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == n]); 
}

int main()
{
	int T = 1;
//	scanf("%d", &T);
	for (int i = 1; i <= T; ++i) {
		solve();
	}
	return 0;
}

总结：
避免跳跃性思考，从朴素的二维状态构建好转移方程后，再根据实际优化空间和时间