文章内容来自DR_CAN关于傅里叶变换的视频，本篇文章提供了一些基础知识点，比如三角函数常用的导数、三角函数换算公式等。
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基础知识点
Part1：三角函数系的正交性
Part2：T=2π的周期函数的傅里叶级数展开
Part3：周期为T=2L的函数展开
Part4：傅里叶级数的复数形式
Part5：从傅里叶级数推导傅里叶变换
总结
设
α
\alpha
α为任意角
f
(
2
k
π
+
α
)
=
f
α
(
k
∈
Z
)
，其中
f
为
s
i
n
或
c
o
s
或
t
a
n
或
c
o
t
s
i
n
(
π
+
α
)
=
−
s
i
n
α
c
o
s
(
π
+
α
)
=
−
c
o
s
α
t
a
n
(
π
+
α
)
=
t
a
n
α
c
o
t
(
π
+
α
)
=
c
o
t
α
s
i
n
(
−
α
)
=
−
s
i
n
α
c
o
s
(
−
α
)
=
c
o
s
α
t
a
n
(
π
+
α
)
=
−
t
a
n
α
c
o
t
(
π
+
α
)
=
−
c
o
t
α
s
i
n
(
π
−
α
)
=
s
i
n
α
c
o
s
(
π
−
α
)
=
−
c
o
s
α
t
a
n
(
π
−
α
)
=
−
t
a
n
α
c
o
t
(
π
−
α
)
=
−
c
o
t
α
s
i
n
(
2
π
−
α
)
=
−
s
i
n
α
c
o
s
(
2
π
−
α
)
=
c
o
s
α
t
a
n
(
2
π
−
α
)
=
−
t
a
n
α
c
o
t
(
2
π
−
α
)
=
−
c
o
t
α
\begin{align} & f(2k \pi + \alpha) = f \alpha (k \in Z) ，其中f为 sin或cos或tan或cot \\ \\ & sin(\pi + \alpha) = -sin \alpha \\ & cos(\pi + \alpha) = -cos \alpha \\ & tan(\pi + \alpha) = tan \alpha \\ & cot(\pi + \alpha) = cot \alpha \\ \\ & sin(- \alpha) = - sin \alpha \\ & cos(- \alpha) = cos \alpha \\ & tan(\pi + \alpha) = -tan \alpha \\ & cot(\pi + \alpha) = -cot \alpha \\ \\ & sin(\pi - \alpha) = sin \alpha \\ & cos(\pi - \alpha) = - cos \alpha \\ & tan(\pi - \alpha) = - tan \alpha \\ & cot(\pi - \alpha) = -cot \alpha \\ \\ & sin(2 \pi - \alpha) = -sin \alpha \\ & cos(2 \pi - \alpha) = cos \alpha \\ & tan(2 \pi - \alpha) = -tan \alpha \\ & cot(2 \pi - \alpha) = -cot \alpha & \end{align}
f(2kπ+α)=fα(k∈Z)，其中f为sin或cos或tan或cotsin(π+α)=−sinαcos(π+α)=−cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotαsin(−α)=−sinαcos(−α)=cosαtan(π+α)=−tanαcot(π+α)=−cotαsin(π−α)=sinαcos(π−α)=−cosαtan(π−α)=−tanαcot(π−α)=−cotαsin(2π−α)=−sinαcos(2π−α)=cosαtan(2π−α)=−tanαcot(2π−α)=−cotα
积化和差公式：
sin α cos β = sin ( α + β ) + sin ( α − β ) 2 cos α sin β = sin ( α + β ) − sin ( α − β ) 2 cos α cos β = cos ( α + β ) + cos ( α − β ) 2 sin α sin β = − cos ( α + β ) − cos ( α − β ) 2 \begin{align} & \sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2} \\ & \cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2} \\ & \cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}\\ & \sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2} & \end{align} sinαcosβ=2sin(α+β)+sin(α−β)cosαsinβ=2sin(α+β)−sin(α−β)cosαcosβ=2cos(α+β)+cos(α−β)sinαsinβ=−2cos(α+β)−cos(α−β)
和差化积公式：
s i n α + s i n β = 2 s i n α + β 2 c o s α − β 2 s i n α − s i n β = 2 c o s α + β 2 s i n α − β 2 c o s α + c o s β = 2 c o s α + β 2 c o s α − β 2 c o s α − c o s β = − 2 s i n α + β 2 s i n α − β 2 \begin{align} & sin \alpha + sin \beta = 2sin\frac {\alpha + \beta} {2} cos \frac {\alpha - \beta} {2} \\ & sin \alpha - sin \beta = 2cos\frac {\alpha + \beta} {2} sin \frac {\alpha - \beta} {2} \\ & cos \alpha + cos \beta = 2 cos\frac {\alpha + \beta} {2} cos \frac {\alpha - \beta} {2} \\ & cos \alpha - cos \beta = - 2 sin\frac {\alpha + \beta} {2} sin \frac {\alpha - \beta} {2} & \end{align} sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−βsinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−βcosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−βcosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β
倍角公式：
s i n 2 α = s i n α c o s α + s i n α c o s α = 2 s i n α c o s α c o s 2 α = c o s 2 α − s i n 2 α = 2 c o s 2 α − 1 = 1 − 2 s i n 2 α c o s 2 α = 1 + c o s 2 α 2 s i n 2 α = 1 − c o s 2 α 2 t a n 2 α = 2 t a n α 1 − t a n 2 α \begin{align} & sin 2 \alpha = sin \alpha cos \alpha + sin \alpha cos \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha \\ & cos 2 \alpha = cos^2 \alpha - sin ^2 \alpha =2 cos ^ 2 \alpha -1 = 1- 2 sin^2 \alpha \\ & cos ^ 2 \alpha = \frac{1 + cos 2 \alpha}{2} \\ & sin^ 2 \alpha = \frac{1 - cos 2 \alpha}{2} \\ & tan 2 \alpha = \frac {2 tan \alpha} {1 - tan ^2 \alpha} & \end{align} sin2α=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosαcos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2αcos2α=21+cos2αsin2α=21−cos2αtan2α=1−tan2α2tanα
三角函数导数：
正弦函数： ( s i n x ) ′ = c o s x 余弦函数： ( c o s x ) ′ = − s i n x 正切函数： ( t a n x ) ′ = s e c 2 x 余切函数： ( c o t x ) ′ = − c s c 2 x \begin{align} & 正弦函数： (sin x)' = cosx \\ & 余弦函数： (cos x)' = -sinx \\ & 正切函数： (tan x )' = sec^2 x \\ & 余切函数： (cot x)' = -csc^2x & \end{align} 正弦函数：(sinx)′=cosx余弦函数：(cosx)′=−sinx正切函数：(tanx)′=sec2x余切函数：(cotx)′=−csc2x
积分性质：
性质 1 ：如果 c 是常数， ∫ a b c d x = c ( b − a ) ; 性质 2 ：如果 c 是常数， ∫ z b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x ； 性质 3 ： ∫ a b [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ z b g ( x ) d x ； \begin{align} & 性质1：如果c是常数，\int_{a}^{b} cdx = c(b-a); \\ & 性质2：如果c是常数，\int_z^b cf(x)dx = c \int_a^b f(x)dx； \\ & 性质3：\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_z^b g(x)dx； & \end{align} 性质1：如果c是常数，∫abcdx=c(b−a);性质2：如果c是常数，∫zbcf(x)dx=c∫abf(x)dx；性质3：∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx±∫zbg(x)dx；
三角函数系集合： { 0 , 1 , s i n x , c o s x , s i n 2 x , c o s 2 x , . . . , s i n n x , c o s n x , . . . } \{0,1,sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ...,sin nx, cos nx, ...\} {0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...,sinnx,cosnx,...}，即为 { s i n n x , c o s n x } \{sin nx, cos nx\} {sinnx,cosnx}，其中 n = 0 , 1 , 2 , . . . n = 0, 1,2,... n=0,1,2,...。
对于两个向量 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec {b} b ，如果它们的内积等于0，表示这两个向量是垂直的，具有正交性。即 a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 a ⋅b =0，如下示意图， a ⃗ ⋅ b ⃗ = 2 ∗ − 1 + 1 ∗ 2 = 0 \vec{a} \cdot \vec{b} = 2*-1 + 1*2 = 0 a ⋅b =2∗−1+1∗2=0。
若向量
a
⃗
\vec{a}
a
和向量
b
⃗
\vec{b}
b
中包含三个元素，分别是
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
(a_1, a_2, a_3)
(a1,a2,a3)和
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
(b_1, b_2, b_3)
(b1,b2,b3)，如果
a
⃗
⋅
b
⃗
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
=
0
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0
a
⋅b
=a1b1+a2b2+a3b3=0，那么
a
⃗
\vec{a}
a
与
b
⃗
\vec {b}
b
正交。
再推广到 a ⃗ \vec a a 和 b ⃗ \vec b b 中有 n n n个元素，分别为 { a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n } \{ a_1, a_2, a_3, ..., a_n \} {a1,a2,a3,...,an}和 { b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n } \{ b_1, b_2, b_3, ... , b_n \} {b1,b2,b3,...,bn}，如果 a ⃗ ⋅ b ⃗ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + . . a n b n = ∑ i = 1 n a i b i = 0 \vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + .. a_n b_n = \sum_{i=1} ^ {n} a_i b_i = 0 a ⋅b =a1b1+a2b2+a3b3+..anbn=∑i=1naibi=0，那么 a ⃗ \vec a a 与 b ⃗ \vec b b 正交。
再扩展，如果 a = f ( x ) a = f(x) a=f(x)， b = g ( x ) b = g(x) b=g(x)，在一个区间内如 [ x 0 , x 1 ] [x_0, x_1] [x0,x1]计算 a ⋅ b a \cdot b a⋅b即 f ( x ) ⋅ g ( x ) f(x) \cdot g(x) f(x)⋅g(x)，也就是计算在区间 [ x 0 , x 1 ] [x_0, x_1] [x0,x1]内的面积和，相当于求积分 ∫ x 0 x 1 f ( x ) g ( x ) d x \int_{x_0}^{x_1} f(x) g(x)dx ∫x0x1f(x)g(x)dx。如果 ∫ x 0 x 1 f ( x ) g ( x ) d x = 0 \int_{x_0}^{x_1} f(x) g(x)dx=0 ∫x0x1f(x)g(x)dx=0，就可以说 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)这两个函数正交。
再说回到三角函数的正交性的定义：从三角函数系集合中任取两项，在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π]之间，这两项的积分等于0。
即：
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
c
o
s
(
m
x
)
d
x
=
0
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
x
)
s
i
n
(
m
x
)
d
x
=
0
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
s
i
n
(
m
x
)
d
x
=
0
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
x
)
c
o
s
(
m
x
)
d
x
=
0
\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (mx) dx = 0 \\ & \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) sin (mx) dx = 0 \\ & \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) sin (mx) dx = 0 \\ & \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) cos (mx) dx = 0 & \end{align}
∫−ππsin(nx)cos(mx)dx=0∫−ππcos(nx)sin(mx)dx=0∫−ππsin(nx)sin(mx)dx=0∫−ππcos(nx)cos(mx)dx=0
接下来证明三角函数的正交性。
当 m ≠ n m \ne n m=n时，由积化和差公式 s i n α c o s β = 1 2 [ s i n ( α + β ) + s i n ( α − β ) ] sin \alpha cos \beta = \frac{1}{2} [sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)] sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
∫ − π π s i n ( n x ) c o s ( m x ) d x = 1 2 [ ∫ − π π s i n ( n + m ) x d x + ∫ − π π s i n ( n − m ) x d x ] = 1 2 [ ( − 1 n + m c o s ( n + m ) x ∣ − π π ) + ( − 1 n − m c o s ( n − m ) x ∣ − π π ) ] = 1 2 [ − c o s ( n + m ) π − c o s ( − ( n + m ) π ) n + m + [ − c o s ( n − m ) π − c o s ( − ( n − m ) π ) n − m ] ] 有 c o s ( − α ) = c o s α ，很容易得出上式为 0 , 即： ∫ − π π s i n ( n x ) c o s ( m x ) d x = 0 \begin{align} &\int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (mx) dx \\ & = \frac {1}{2} \left [ \int_{- \pi}^{\pi} sin(n + m)x dx + \int_{- \pi}^{\pi}sin(n-m)x dx \right] \\ & = \frac{1}{2} \left[ (- \frac{1}{n+m} cos(n+m)x |_{- \pi}^{\pi}) + (- \frac{1}{n-m} cos(n-m)x |_{- \pi}^{\pi}) \right] \\ & = \frac{1}{2} \left [- \frac{cos(n+m) \pi - cos(-(n+m)\pi)}{n+m} + [- \frac{cos(n-m) \pi - cos(-(n-m)\pi) }{n-m} ] \right ] \\ & 有cos (-\alpha) = cos \alpha，很容易得出上式为0 , 即： \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (mx) dx = 0 & \end{align} ∫−ππsin(nx)cos(mx)dx=21[∫−ππsin(n+m)xdx+∫−ππsin(n−m)xdx]=21[(−n+m1cos(n+m)x∣−ππ)+(−n−m1cos(n−m)x∣−ππ)]=21[−n+mcos(n+m)π−cos(−(n+m)π)+[−n−mcos(n−m)π−cos(−(n−m)π)]]有cos(−α)=cosα，很容易得出上式为0,即：∫−ππsin(nx)cos(mx)dx=0
当
m
≠
n
m \ne n
m=n时，由积化和差公式
c
o
s
α
s
i
n
β
=
1
2
[
s
i
n
(
α
+
β
)
−
s
i
n
(
α
−
β
)
]
cos\alpha sin\beta = \frac{1}{2} [sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta)]
cosαsinβ=21[sin(α+β)−sin(α−β)]、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
x
)
s
i
n
(
m
x
)
d
x
=
1
2
[
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
+
m
)
x
d
x
−
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
−
m
)
x
d
x
]
=
1
2
[
(
−
1
n
+
m
)
c
o
s
(
n
+
m
)
x
∣
−
π
π
)
−
(
−
1
n
−
m
)
c
o
s
(
n
−
m
)
x
∣
−
π
π
)
]
=
1
2
[
[
−
[
c
o
s
(
n
+
m
)
π
−
c
o
s
(
−
(
n
+
m
)
π
)
]
n
+
m
]
−
[
−
[
c
o
s
(
n
−
m
)
π
−
c
o
s
(
−
(
n
−
m
)
π
)
]
n
−
m
]
]
有
c
o
s
(
−
α
)
=
c
o
s
α
，很容易得出上式为
0
,
即：
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
x
)
s
i
n
(
m
x
)
d
x
=
0
\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) sin (mx) dx \\ & =\frac {1}{2} \left [ \int_{- \pi}^{\pi} sin(n + m)x dx - \int_{- \pi}^{\pi}sin(n-m)x dx \right] \\ & = \frac{1}{2} \left[ (- \frac{1}{n+m}) cos(n+m)x |_{- \pi}^{\pi}) - (- \frac{1}{n-m} )cos(n-m)x |_{- \pi}^{\pi}) \right] \\ & = \frac{1}{2} \left [ [- \frac{\left[ cos(n+m) \pi - cos(-(n+m)\pi) \right]}{n+m}] - [- \frac{\left[ cos(n-m) \pi - cos(-(n-m)\pi) \right]}{n-m} ] \right ] \\ & 有cos (-\alpha) = cos \alpha，很容易得出上式为0 , 即： \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) sin (mx) dx = 0 & \end{align}
∫−ππcos(nx)sin(mx)dx=21[∫−ππsin(n+m)xdx−∫−ππsin(n−m)xdx]=21[(−n+m1)cos(n+m)x∣−ππ)−(−n−m1)cos(n−m)x∣−ππ)]=21[[−n+m[cos(n+m)π−cos(−(n+m)π)]]−[−n−m[cos(n−m)π−cos(−(n−m)π)]]]有cos(−α)=cosα，很容易得出上式为0,即：∫−ππcos(nx)sin(mx)dx=0
当
m
≠
n
m \ne n
m=n时，由积化和差公式
c
o
s
α
c
o
s
β
=
1
2
[
c
o
s
(
α
+
β
)
+
c
o
s
(
α
−
β
)
]
cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2} [cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)]
cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α−β)]、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
x
)
c
o
s
(
m
x
)
d
x
=
1
2
[
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
+
m
)
x
d
x
+
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
−
m
)
x
d
x
]
=
1
2
[
1
n
+
m
s
i
n
(
n
+
m
)
x
∣
−
π
π
)
+
1
n
−
m
s
i
n
(
n
−
m
)
x
∣
−
π
π
)
]
=
1
2
[
[
s
i
n
(
n
+
m
)
π
−
s
i
n
(
−
(
n
+
m
)
π
)
]
n
+
m
+
[
s
i
n
(
n
−
m
)
π
−
s
i
n
(
−
(
n
−
m
)
π
)
]
n
−
m
]
有
s
i
n
(
−
α
)
=
−
s
i
n
α
,
又有
∣
s
i
n
k
π
+
α
∣
=
∣
s
i
n
α
∣
,
上式中
α
=
0
,
s
i
n
(
(
n
+
m
)
)
π
=
s
i
n
(
(
n
−
m
)
π
)
=
0
很容易得出上式为
0
,
即：
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
x
)
c
o
s
(
m
x
)
d
x
=
0
\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) cos (mx) dx \\ & =\frac {1}{2} \left [ \int_{- \pi}^{\pi} cos(n + m)x dx + \int_{- \pi}^{\pi}cos(n-m)x dx \right] \\ & = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n+m} sin(n+m)x |_{- \pi}^{\pi}) + \frac{1}{n-m} sin(n-m)x |_{- \pi}^{\pi}) \right] \\ & = \frac{1}{2} \left [ \frac{\left[ sin(n+m) \pi - sin(-(n+m)\pi) \right]}{n+m} + \frac{\left[ sin(n-m) \pi - sin(-(n-m)\pi) \right]}{n-m} \right ] \\ & 有 sin (-\alpha) = - sin \alpha,又有|sin k \pi + \alpha| = |sin \alpha|,\\ & 上式中\alpha=0, sin ( (n+m)) \pi = sin((n-m) \pi) = 0很容易得出上式为0 , 即： \\ & \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) cos (mx) dx = 0 & \end{align}
∫−ππcos(nx)cos(mx)dx=21[∫−ππcos(n+m)xdx+∫−ππcos(n−m)xdx]=21[n+m1sin(n+m)x∣−ππ)+n−m1sin(n−m)x∣−ππ)]=21[n+m[sin(n+m)π−sin(−(n+m)π)]+n−m[sin(n−m)π−sin(−(n−m)π)]]有sin(−α)=−sinα,又有∣sinkπ+α∣=∣sinα∣,上式中α=0,sin((n+m))π=sin((n−m)π)=0很容易得出上式为0,即：∫−ππcos(nx)cos(mx)dx=0
当
m
≠
n
m \ne n
m=n时，由积化和差公式
s
i
n
α
s
i
n
β
=
1
2
[
c
o
s
(
α
+
β
)
−
c
o
s
(
α
−
β
)
]
sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2} [cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)]
sinαsinβ=21[cos(α+β)−cos(α−β)]、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
s
i
n
(
m
x
)
d
x
=
1
2
[
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
+
m
)
x
d
x
−
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
−
m
)
x
d
x
]
=
1
2
[
1
n
+
m
s
i
n
(
n
+
m
)
x
∣
−
π
π
)
−
1
n
−
m
s
i
n
(
n
−
m
)
x
∣
−
π
π
)
]
=
1
2
[
[
s
i
n
(
n
+
m
)
π
−
s
i
n
(
−
(
n
+
m
)
π
)
]
n
+
m
−
[
s
i
n
(
n
−
m
)
π
−
s
i
n
(
−
(
n
−
m
)
π
)
]
n
−
m
]
有
∣
s
i
n
(
k
π
+
α
)
∣
=
∣
s
i
n
α
∣
,
上式中
α
=
0
,
s
i
n
(
(
n
+
m
)
)
π
=
s
i
n
(
(
n
−
m
)
π
)
=
0
很容易得出上式为
0
,
即：
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
s
i
n
(
m
x
)
d
x
=
0
\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) sin (mx) dx \\ &=\frac {1}{2} \left [ \int_{- \pi}^{\pi} cos(n + m)x dx - \int_{- \pi}^{\pi}cos(n-m)x dx \right] \\ & = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n+m} sin(n+m)x |_{- \pi}^{\pi}) - \frac{1}{n-m} sin(n-m)x |_{- \pi}^{\pi}) \right] \\ & = \frac{1}{2} \left [ \frac{\left[ sin(n+m) \pi - sin(-(n+m)\pi) \right]}{n+m} - \frac{\left[ sin(n-m) \pi - sin(-(n-m)\pi) \right] }{n-m} \right ] \\ & 有 | sin (k \pi + \alpha)| = | sin \alpha |, 上式中\alpha=0, sin ( (n+m)) \pi = sin( (n-m) \pi) = 0\\ &很容易得出上式为0 , 即： \\ & \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) sin (mx) dx = 0 & \end{align}
∫−ππsin(nx)sin(mx)dx=21[∫−ππcos(n+m)xdx−∫−ππcos(n−m)xdx]=21[n+m1sin(n+m)x∣−ππ)−n−m1sin(n−m)x∣−ππ)]=21[n+m[sin(n+m)π−sin(−(n+m)π)]−n−m[sin(n−m)π−sin(−(n−m)π)]]有∣sin(kπ+α)∣=∣sinα∣,上式中α=0,sin((n+m))π=sin((n−m)π)=0很容易得出上式为0,即：∫−ππsin(nx)sin(mx)dx=0
当
m
=
n
m=n
m=n时， 由三角函数平方公式
s
i
n
2
α
=
1
2
(
1
−
c
o
s
2
α
)
sin ^ 2 \alpha = \frac{1}{2} (1 - cos 2 \alpha)
sin2α=21(1−cos2α)、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
s
i
n
(
n
x
)
d
x
=
1
2
[
∫
−
π
π
(
1
−
c
o
s
2
n
x
)
d
x
]
=
1
2
[
∫
−
π
π
1
d
x
−
∫
−
π
π
c
o
s
2
n
x
d
x
]
如果
m
=
n
=
0
，上式
=
0
；
如果
m
=
n
≠
0
,
可以假定
c
o
s
2
n
x
=
c
o
s
0
x
c
o
s
2
n
x
，
根据三角函数的正交性质，那么右边
∫
−
π
π
c
o
s
2
n
x
d
x
=
0
，上式即为
1
2
[
x
∣
−
π
π
]
=
1
2
2
π
=
π
\begin{align} &\int_{-\pi}^{\pi} sin (nx) sin (nx) dx = \frac{1}{2} \left [ \int_{-\pi}^{\pi} (1 - cos2nx) dx \right ] = \frac{1}{2} \left [ \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx - \int_{-\pi}^{\pi} cos2nx dx \right ] \\ & 如果m=n=0，上式=0；\\ & 如果m=n \ne 0, 可以假定cos2nx = cos 0x cos 2nx，\\ & 根据三角函数的正交性质，那么右边\int_{-\pi}^{\pi} cos2nx dx = 0 ，上式即为 \\ & \frac{1}{2} \left[ x|_{-\pi}^{\pi}\right] = \frac{1}{2} 2\pi = \pi & \end{align}
∫−ππsin(nx)sin(nx)dx=21[∫−ππ(1−cos2nx)dx]=21[∫−ππ1dx−∫−ππcos2nxdx]如果m=n=0，上式=0；如果m=n=0,可以假定cos2nx=cos0xcos2nx，根据三角函数的正交性质，那么右边∫−ππcos2nxdx=0，上式即为21[x∣−ππ]=212π=π
当
m
=
n
m=n
m=n时， 由三角函数平方公式
c
o
s
2
α
=
1
2
(
1
+
c
o
s
2
α
)
cos^ 2 \alpha = \frac{1}{2} (1 + cos 2 \alpha)
cos2α=21(1+cos2α)、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
x
)
c
o
s
(
n
x
)
d
x
=
1
2
[
∫
−
π
π
(
1
+
c
o
s
2
n
x
)
d
x
]
=
1
2
[
∫
−
π
π
1
d
x
+
∫
−
π
π
c
o
s
2
n
x
d
x
]
如果
m
=
n
=
0
，上式变为
1
2
[
∫
−
π
π
2
d
x
]
=
x
∣
−
π
π
=
2
π
；
如果
m
=
n
≠
0
,
假定
c
o
s
2
n
x
=
c
o
s
0
x
c
o
s
2
n
x
，根据三角函数的正交性质，
那么右边
∫
−
π
π
c
o
s
2
n
x
d
x
=
0
，上式即为
1
2
[
x
∣
−
π
π
]
=
1
2
2
π
=
π
\begin{align} & \int_{-\pi}^{\pi} cos (nx) cos (nx) dx = \frac{1}{2} \left [ \int_{-\pi}^{\pi} (1 + cos2nx) dx \right ] = \frac{1}{2} \left [ \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx + \int_{-\pi}^{\pi} cos2nx dx \right ] \\ & 如果m=n=0，上式变为\frac{1}{2} \left [ \int_{-\pi}^{\pi} 2 dx \right ] = x|_{-\pi}^{\pi} = 2\pi；\\ & 如果m=n \ne 0, 假定cos2nx = cos 0x cos 2nx，根据三角函数的正交性质，\\ & 那么右边\int_{-\pi}^{\pi} cos2nx dx = 0 ，上式即为 \\ & \frac{1}{2} \left[ x|_{-\pi}^{\pi}\right] = \frac{1}{2} 2\pi = \pi & \end{align}
∫−ππcos(nx)cos(nx)dx=21[∫−ππ(1+cos2nx)dx]=21[∫−ππ1dx+∫−ππcos2nxdx]如果m=n=0，上式变为21[∫−ππ2dx]=x∣−ππ=2π；如果m=n=0,假定cos2nx=cos0xcos2nx，根据三角函数的正交性质，那么右边∫−ππcos2nxdx=0，上式即为21[x∣−ππ]=212π=π
当
m
=
n
m=n
m=n时， 由积化和差公式
s
i
n
α
c
o
s
β
=
1
2
[
s
i
n
(
α
+
β
)
+
s
i
n
(
α
−
β
)
]
sin \alpha cos \beta = \frac{1}{2} [sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)]
sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]、复合导数求导、三角函数常用导数公式以及积分性质可证：
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
c
o
s
(
n
x
)
d
x
=
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
x
)
s
i
n
(
n
x
)
d
x
=
1
2
[
∫
−
π
π
s
i
n
2
n
x
d
x
+
∫
−
π
π
s
i
n
0
x
d
x
]
当
m
=
n
=
0
时，左边变为
∫
−
π
π
0
d
x
=
0
，右边计算也为
0
，所以
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
c
o
s
(
n
x
)
d
x
=
0
当
m
=
n
≠
0
时，左边可以看作
∫
−
π
π
c
o
s
0
x
s
i
n
2
n
x
d
x
=
0
，所以
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
c
o
s
(
n
x
)
d
x
=
0
\begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (nx) dx = \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) sin (nx) dx =\frac {1}{2} \left [ \int_{- \pi}^{\pi} sin2nx dx + \int_{- \pi}^{\pi}sin0x dx \right] \\ & 当m=n=0时，左边变为\int_{- \pi}^{\pi} 0 dx = 0，右边计算也为0，所以 \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (nx) dx = 0 \\ & 当m=n \ne 0时， 左边可以看作\int_{- \pi}^{\pi} cos0x sin 2nxdx = 0，所以 \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (nx) dx = 0 & \end{align}
∫−ππsin(nx)cos(nx)dx=∫−ππcos(nx)sin(nx)dx=21[∫−ππsin2nxdx+∫−ππsin0xdx]当m=n=0时，左边变为∫−ππ0dx=0，右边计算也为0，所以∫−ππsin(nx)cos(nx)dx=0当m=n=0时，左边可以看作∫−ππcos0xsin2nxdx=0，所以∫−ππsin(nx)cos(nx)dx=0
总结如下：
∫ − π π s i n ( n x ) c o s ( m x ) d x = 0 ∫ − π π c o s ( n x ) s i n ( m x ) d x = 0 ∫ − π π c o s ( n x ) c o s ( m x ) d x = { 0 , m ≠ n 2 π , m = n = 0 π m = n ≠ 0 ∫ − π π s i n ( n x ) s i n ( m x ) d x = { 0 , m ≠ n 或 m = n = 0 π m = n ≠ 0 \begin{align} & \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) cos (mx) dx = 0 \\ & \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) sin (mx) dx = 0 \\ & \int_{- \pi}^{\pi} cos (nx) cos (mx) dx = \left\{\begin{matrix} 0, & m \ne n \\ 2 \pi, & m = n =0 \\ \pi & m = n \ne 0 \end{matrix}\right.\\ & \int_{- \pi}^{\pi} sin (nx) sin (mx) dx = \left\{\begin{matrix} 0, & m \ne n 或 m=n=0\\ \pi & m = n \ne 0 \end{matrix}\right. & \end{align} ∫−ππsin(nx)cos(mx)dx=0∫−ππcos(nx)sin(mx)dx=0∫−ππcos(nx)cos(mx)dx=⎩ ⎨ ⎧0,2π,πm=nm=n=0m=n=0∫−ππsin(nx)sin(mx)dx={0,πm=n或m=n=0m=n=0
