线性代数笔记 2 - 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换
初等行变换：

1. 对换两行，对换i，j 两行，记作： r i ↔ r j r_i \harr r_j ri​↔rj​
2. 以一个不等于 k 的数乘某一行中的所有元，第 i 行乘与 k 记作： r i × k r_i \times k ri​×k
3. 把某一行的 n 倍加到另一行对应的元上去，第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去，记作： r i + k r j r_i+kr_j ri​+krj​

将上述定义中的 “行” 换成 “列” ，即得初等列变换得定义。
初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。
矩阵得初等变换都是可逆得，其逆变换都是同一类型得变换，逆变换可以记作：
r i ↔ r j 得 逆 变 换 是 其 本 身 r i ∗ k   其 逆 变 换 为   r i × ( 1 k ) r i + k r i   的 逆 变 换 是 r i + ( − k ) r i r_i \harr r_j 得逆变换是其本身\\ r_i*k \ 其逆变换为\ r_i \times({{1} \over{k}}) \\ r_i + kr_i \ 的逆变换是r_i +(-k)r_i ri​↔rj​得逆变换是其本身ri​∗k 其逆变换为 ri​×(k1​)ri​+kri​ 的逆变换是ri​+(−k)ri​
如果矩阵 A 间经过有限次初等变换就可以变成矩阵 B，那么称为矩阵 A 和矩阵 B 等价，记作：
A ∼ B A \sim B A∼B

矩阵之间的等价关系具有如下的性质:
性 质 { 反 身 性   A ∼ A 对 称 性   若 A ∼ B ， 则 B ∼ A 传 递 性   若 A ∼ B ， B ∼ C ， 则   A ∼ C 性质 \begin {cases} 反身性 \ A \sim A \\ 对称性 \ 若A \sim B ，则 B \sim A \\ 传递性 \ 若 A \sim B，B \sim C，则\ A \sim C \end{cases} 性质⎩⎪⎨⎪⎧​反身性 A∼A对称性 若A∼B，则B∼A传递性 若A∼B，B∼C，则 A∼C​
多元方程求解的消元和回代过程都可以用矩阵初等行列式的变化来完成。
若干概念：

• 首非零元
• 行阶梯形矩阵 A A A
• 行最简形矩阵
• 初等矩阵

任何一个非零矩阵，都可以在有限次数的等行变换后，变为行阶梯型矩阵和行最简型矩阵。（这一个变换过程，就是就是解方程组的过程）（初等变换的过程其实就是，原矩阵和一个初等矩阵的相乘的过程，初等矩阵左乘原矩阵相当于行变换，初等矩阵右乘原矩阵相当于列变换 ）

定理：
设A与B为 m × \times × n 阶矩阵，那么：

1. A～B 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，使 PA = B
2. A～B 的充分必要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q，使 AQ = B
3. A ～B 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q，使PAQ = B

矩阵初等变换的性质：

1. 设 A 是一个 m × \times ×n 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的
   左边乘相应的 m 阶初等矩阵
   ；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘相应的 n 阶初等矩阵
2. 方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P₁，P₂，…，P_i，使 A = P ₁ P₂ …

矩阵的秩
非零子式的概念（第六版P66）
设 A 行等价于 B ，则 A 与 B 中非零子式的最高阶数相等
设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式
（如果存在的话）全等于 0，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵
若A ~ B ，则 R(A) = R(B)
A 的秩，记作 R（A）.并规定零矩阵的秩等于 0
关于矩阵的秩的性质：

1. 由于 R(A)是 A 的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵 A 中有某个s 阶子式不为 0，则 R(A) ≥ s；若 A 中所有 t 阶子式全为 0，则 R(A)＜ t
2. 若 A 为 m×n 矩阵，则 0 ≤ R(A) ≤ min{m,n}.
3. 行列式与其转置行列式相等，因此 A^T 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(A^T = R(A).
4. 对于 n 阶矩阵 A，由于 A 的 n 阶子式只有一个 |A|，故当 |A| ≠ 0 时 R(A) = n，当 |A| = 0 时 R(A)＜n.可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.因此，可逆矩阵又称满秩矩.阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵.
   ① 0 ≤ R (A_{m × \times ×n}) ≤ min {m,n}
   ② R(A^T)= R (A)
   ③ 若 A～B，则 R (A)= R (B)
   ④ 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R (A)
   ⑤ max {R (A) ，R (B)} ≤ R (A,B) ≤ R (A) + R (B)
   ⑥ R(A+B) ≤ R(A) + R(B)
   ⑦ R (AB) ≤ min { R(A), R(B) }
   ⑧ 若 A_{m × \times ×n} B_{n × \times × 1} = O，则 R(A) + R(B) ≤ n

线性方程组的解
定理：
n 元线性方程组 Ax =b
5. 无解的充分必要条件是 R（A）＜R（A，b）；
6. 有惟一解的充分必要条件是 R（A）= R（A，b）= n；
7. 有无限多解的充分必要条件是 R（A）= R（A，b）＜n

n 元齐次线性方程组 Ax =0有非零解的充分必要条件是 R (A)＜n
线性方程组 A x = b 有解的充分必要条件是 R (A)= R (A,b)
矩阵方程AX = B 有解的充分必要条件是 R (A) = R( A,B )