假设
A
⊂
C
A\subset C
A⊂C是闭的，如果存在A的邻域D和满足下面两条件的连续函数，
v
:
D
→
R
+
v:D \rightarrow R_+
v:D→R+,那么集合A是Lyapunov稳定的。
{
v
(
x
)
=
0
,
当且仅当
x
∈
A
v
(
ξ
(
t
,
x
)
)
≤
v
(
x
)
,
若
x
∉
A
,
t
>
0
且
ξ
(
s
,
x
)
∈
D
,
∀
s
∈
[
0
,
t
]
\begin{cases}v(x)=0,当且仅当x\in A\\v(\xi(t,x))\leq v(x),若x\notin A,t>0且\xi(s,x)\in D,\forall s\in[0,t] \end{cases}
{v(x)=0,当且仅当x∈Av(ξ(t,x))≤v(x),若x∈/A,t>0且ξ(s,x)∈D,∀s∈[0,t]
当
x
∉
A
x\notin A
x∈/A时,
v
(
ξ
(
t
,
x
)
)
≤
v
(
x
)
v(\xi(t,x))\leq v(x)
v(ξ(t,x))≤v(x)表示随着时间的推移，解需要逐渐下移从而达到Lyapunov稳定。若当
x
∉
A
x\notin A
x∈/A时所有解均满足此类关系，那么称集合A是Lyapunov稳定的。
假设
A
⊂
C
A\subset C
A⊂C是闭的，当且仅当A是渐进稳定的，存在A的邻域D和满足下面两条件的连续函数，
v
:
D
→
R
+
v:D \rightarrow R_+
v:D→R+
{
v
(
x
)
=
0
,
当且仅当
x
∈
A
v
(
ξ
(
t
,
x
)
)
≤
v
(
x
)
,
若
x
∉
A
,
t
>
0
且
ξ
(
s
,
x
)
∈
D
,
∀
s
∈
[
0
,
t
]
\begin{cases}v(x)=0,当且仅当x\in A\\v(\xi(t,x))\leq v(x),若x\notin A,t>0且\xi(s,x)\in D,\forall s\in[0,t] \end{cases}
{v(x)=0,当且仅当x∈Av(ξ(t,x))≤v(x),若x∈/A,t>0且ξ(s,x)∈D,∀s∈[0,t]
两个定理问题在于，没有给出如何寻找v函数的方法，以及单调性条件不容易验证。
但是，若
ξ
\xi
ξ是
x
˙
=
ϕ
(
x
)
\dot{x}=\phi(x)
x˙=ϕ(x)的解且向量场
ϕ
\phi
ϕ是连续可微的，可以采用值函数v和向量场
ϕ
\phi
ϕ的等高线图来分析。
如果内积
ϕ
(
x
)
⋅
∇
(
x
)
\phi(x)·\nabla(x)
ϕ(x)⋅∇(x)为负，那么v沿着解
ξ
\xi
ξ递减。而内积
ϕ
(
x
)
⋅
∇
(
x
)
\phi(x)·\nabla(x)
ϕ(x)⋅∇(x)其实是
v
(
ξ
(
t
,
x
)
)
v(\xi(t,x))
v(ξ(t,x))的时间导数。
因此：
本文参考《演化博弈论》乔根·W·布威尔 [著]
