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作者：junior（来自豆瓣）
来源：https://www.douban.com/note/573235939/
Logistic的算法实现非常简单，但它背后的逻辑挺复杂的。前天学完很快又忘了，只记得算法怎么写，推导过程怎么都想不起来了，十分懊恼，所以决定自己动手写一遍推导过程，虽然花了将近五个小时，但感觉记得更牢了一些。
所以说，好记性真的不如烂笔头啊朋友们~~一定要勤记笔记，因为你会忘记，你以为你会记得，但你就是会忘记。尤其年纪大了，学新知识似乎更费劲了，我要更加努力，直到让努力化解了努力的痕迹，知识才会真正进入我的身体。
1. Logistic分类器的适用范围：
※ y必须是二分类变数，比如“是否为垃圾邮件”、“是否为体育新闻”、‘病患是否得了流感’等。
2. 推导步骤：
1)建模：确定x和y之间的关系
2)推导损失函数
3)模型优化：找到最佳拟合的线性回归系数，也就是最大化似然Maximum Likelihood和最小化损失Minimum Loss的过程，最大化似然和最小化损失是一体两面。
3. Logistic模型：简单来说，Logistic是由一个线性模型+一个阈值转换函数组成的。
Logistic模型
它的有趣之处在于，它不是直接假设x和P(y=1)之间的关系，而是设计了一个过渡变数z，中介x和P(y=1)的关系，和x线性相关的是z，而不是P(y)，然后再使用Sigmoid函数把z投射到一个［0,1］的范围中，投射得到的就是概率P(y=1)。
阈值转换：Sigmoid函数的分布：
Logsitic模型的分布
Sigmoid函数分布特征：
1) 介于［0,1］之间，可以直接将计算得到的因变量视作类别1的概率。
2) 如果Sigmoid函数的自变项z足够大的话，横坐标会被拉长，Sigmoid函数看起来会非常像一个阶跃函数。
3) 尽管这个函数是单调上升，但它不是匀速上升的，在自变量z很小的时候，它的上升速度缓慢（导数很小），z=0时上升速度最大，z>0以后上升速度放缓。（Sigmoid函数长得很像常态分布的概率累积函数）
光看公式有点太抽象了，我们还是要回到它的使用脉络里，去理解Sigmoid函数的物理意义吧。
Sigmoid函数最初被用于生态学模型中，用来解释一个生态系统中某种生物数量的变化。比如对于【地球人口】，我们有两个基本的认知：①人口基数越大，人口增长率越快，②但人口数不会无止境地增长，当外部资源与环境不变时，地球可容纳的人口是有限的，当迈过某个门槛后，人口增长率会开始放缓，也就是说人口增长率不仅和人口基数有关，也和系统中的空位vaccancy有关。Sigmoid函数正好可以模拟这个情况。
而在新闻文本分类的情况下，我们可以理解为，①如果“体育类新闻”的特徵词汇（比如运动员、奥运会、跑道等）出现次数越多，判断为类别A的概率也越大，②但新闻文本长度有限，特徵词汇出现次数超过某个门槛后，概率上升空间也不多，比如新闻中如果提到6次奥运会，就有九成把握是体育类新闻，九成！很难比这个概率更高了好吗，所以之后“奥运会”的出现次数每增加一次，概率上升的速度会越来越慢...只有一成的上升空间了，要珍惜，慢慢来....
了解了Sigmoid的特征以及使用情况以后，我们就可以知道为什么我们的分类模型需要拆分成两步骤来执行：一来不用特别限制线性模型因变量的大小，二来也更切合现实情况，概率上升速度是先慢后快再慢。
4. 损失函数Cost Function：
如果一则娱乐新闻被判断有80%可能性是体育新闻，就说明预测出现了80%的错误。我们可以用【对数损失函数】来测量「预测的错误程度」：
损失函数
也可以表达为：
损失函数
当y=1时，正确预测的概率是P(y=1)，则P(y=1)越大，预测越准确，损失函数越小。
*注：损失函数取负就是似然函数。
*注：用log损失函数，而非平方损失函数，是因为sigmoid的平方损失函数是non-convex非凸函数，有很多个局部最小值，用梯度下降法递归时，容易收敛于不好的答案：
non-convex cost function
5. 模型优化：
模型优化，是一个变换回归系数w，来达到最小化损失函数的过程。我们可以使用梯度下降法（Gradient Descend）来找到回归系数w的局部最佳解。
梯度，和函数切线很相似，是一个指向函数值上升最快的方向，梯度的长度为导数大小，代表着函数值上升的速度。而梯度取负，表示的就是函数值下降最快的方向。在梯度下降法中，我们希望找到损失函数下降最快的方向，也就是损失函数的梯度取负的方向，而下降的速度，也就是收敛速度，我们可以定一个够小的常数，比如0.001，也可以根据迭代次数，动态设置一个参数，比如0.001+1/i（i为迭代次数，迭代越多，步长越小，收敛越慢）。
具体推导步骤：
1) 计算梯度：
第一种方法：参考这篇文章（http://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51473567）：
很精彩！ 最值得学习的地方是：P(z)导数=P(Z)(1-P(z))，用原函数代表导数，而不是用z去表达P(z)的导数，这样可以抵消前边的导数项，其实这并非是神来之笔，这个求导形式的出处正是前面提到的生态学模型，即P的增长率和P正相关、又和空位数1-P正相关，是先有了导数形式，然后求积分才制造出Sigmoid函数，而不是相反（可能跟逻辑式回归的伯努利分布假设［线性回归是高斯分布假设］也有关，待议）。
第二种方法，老老实实推导，简单粗暴、土耕火种：
（事实上logit regression的log损失函数的求导结果和linear regression的OLS求导结果一样，都是(y'-y)*x）
2) 梯度下降法：已知-▽E(w)是损失函数下降最快的方向，那么我们就按照这个方向对w进行改进，w=w-α▽E(w)，α为前面提到的步长，设为常数0.001：
假设我们收集了n个个案，每个个案有m个自变项(X0,X1,X2,...,Xm)，则X是一个n x m的矩阵，而y是n x 1的标签列，所以上面这个公式可以转换成以下矩阵表示，其中Xt为X的转置：
*梯度上升法：推导步骤几乎和梯度下降法一致，只不过梯度上升是沿着梯度方向寻找最大值，而梯度下降则是对梯度取负号，往梯度下降最快的方向（即上升的反方向）走，用于寻找最小值。在模型优化时，可以使用梯度上升法求似然函数的最大值，也可以用梯度下降法求损失函数的最小值。
最后贴一张我训练得到的成果图，五个错误哈哈哈哈哈！！开心！！
