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在文本识别模型CRNN中，涉及到了CTC算法的使用，由于算法的原理涉及内容较多，所以特另开一篇文章对其原理进行叙述。
自己在学习CTC过程中也是看了诸多资料才大概理解其中的思想，其中最著名的是一篇英文博客，其对CTC算法进行了通俗又详尽地讲解，链接在文末给出。本文的内容也是以其为大纲，同时参考其他优秀的资料，并加上了自己一些的理解，希望能让读者对CTC的原理有一个大致的了解。
文章涉及内容较多，难免有疏漏之处，如有错误，还望指出。
CTC全称Connectionist temporal classification，是一种常用在语音识别、文本识别等领域的算法，用来解决输入和输出序列长度不一、无法对齐的问题。在CRNN中，它实际上就是模型对应的损失函数。
再进行进一步叙述前，这里需要做几点说明。不管是在语音识别还是文本识别领域，CTC通常接在RNN的后面，与RNN结合使用，就像CRNN中一样。所以后面除非特别说明，否则提到的CTC均是将RNN和CTC当整体看待。
RNN在CRNN模型中代表的就是BiLSTM，它接受经过CNN提取的特征向量，大小为 ![[公式]](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/aaa0f162b58058cec2a8c51ff81640d8.png)
。 即上文提到的特征图的宽度，由于高度为1，所以被去掉了， 即为特征图的通道数。为了便于理解，后面将 也记作 ，也可以简写为 ，即CTC中常涉及的概念——时间步。输出序列的大小为 ，序列长度与输入一致。而每个分量（向量）的维度均为 ，在这里等于字符字典的个数，表示字典个数的概率分布。概率分布经过变换便可以得到最终的预测结果。
为方便叙述，假设输入的序列为 ，对应的输出序列为 ，在这里希望找到 到 的映射关系。
如果使用一般的监督学习算法，会面临诸多的问题，主要可以概括为以下几点：
和 的长度是可变的。 和 的长度比例也是可变的。 和 对应元素之间不能找到严格的对齐关系。而CTC正是一种可以解决这些问题的算法。对于一个给定的输入 ，它可以计算对应所有可能的 的概率分布。通过该概率分布，可以预测最大概率对应的输出或者某个特定输出的概率
由此可以引出损失函数的定义。对于一个给定的输入 ，转录层需要最大化对应 的后验概率 。当然为了能够正常地训练模型， 应该是可导的。由于训练模型通常以最小化损失函数为目标，所以将优化目标转为最小化 的负对数似然值，即：
其中 表示训练集。
而在预测阶段，每给定一个输入 ，CRNN要找到最大概率对应的输出，即
不难想到，如果序列长度稍长，所有概率分布的计算量是及其巨大的，因此这里需要一个速度更快的算法。
前面说过，对于给定的输入 ，转录层需要计算所有可能的 的概率分布，而关键的问题在于如何处理 与 间的对齐问题。所以下面先分析CTC的对齐方式。
要说明的是，CTC是不需要输入输出进行对齐的。但是对于给定的输入，为了计算对应 的概率，仍需要对所有可能对齐的概率进行求和，因为可能同一个输出有多个输出路径对应。下面举例进行说明。
例如CRNN的输入 是一张包含单词“cat”的图片，所以对应的输出序列应该为 。那么一种对齐 和 的方式是先对输入的每个分量 对应一个输出字符，然后将相邻的重复字符进行合并，具体如下图所示。
图1 单词cat对齐过程 [1]
当然这里很容易发现这种对应方式是不合理的。第一个问题是输入的图片可能根本不包含任何字符，即输出的结果应该为空，而强制每个输入分量 对应一个字符显然得不到这样的结果。第二个问题是如果将所有相邻重复字符都进行合并处理的话，将不能产生连续相同字符，导致结果可能是错误的。比如如果将单词tooth进行合并处理，那么最终的输出将是toth而不是tooth。
所以考虑上述问题，CTC算法又引入了一个特殊的字符——占位符，记作 或 。它表示一个占位，不对应任何字符，因此在最终的输出时要将其删除。这样以后这里仍可以采用上述的对齐规则，并同时避免以上的问题，当然最后不要忘了在输出中去掉 。单词hello的对齐过程如下图所示。
图2 单词hello对齐过程 [1]
可以看出，如果单词存在两个相同的字符，为了能够处理这种情况，需要在这两个字符间插入 。这样就能区分诸如“toth”和“tooth”的对齐方式了。
这样的规则具有以下几种特征。第一，输入 与输出 的对齐是单调的，即当 前进至下一个时间片对应的输入分量 时， 既可以保持不动，也可以移动至下一个时间片对应的输出分量 。第二，输入与最终的输出是一对多的关系，即多个输入分量可能只对应一个输出分量。
所以，输出 的长度一定不大于 。
回顾CTC的优化目标，对于一个给定的输入 ，需要最大化 对应 的后验概率 ，所以显然需要先得到后验概率的值。通过上面定义的对齐规则，已经解决了最后序列合并的对齐问题。接下来说明具体如何根据每个时间片的概率，推算出最终输出序列的后验概率 。
具体地，对于一个输入 ，每一时间步对应分量 的特征维度，记为 。 经过BiLSTM输出 ，每个分量 的维度记为 ，表示 个概率。 实际上等于字符集合 的个数，假如需要预测的字符对应的字段包含52个英文字母（包括大小写），考虑之前加入的占位符，则 的值就是53。
对于每个分量 ，都选取一个元素，便可以组成一条输出路径，记为 ，输出路径的空间可表示为 。
定义一个映射 ，表示对中间输出路径进行变换，得到最后的输出 。注意这里的路径不是最终的输出 ，需要经过合并相邻字符以及删除占位符的处理，才会得到 ，所以相当于中间结果。下面举例说明。
假设识别的序列为"taste"， 时，那么以下几种路径均满足条件：
因此求taste最终输出对输入的后验概率时 ，就是求这四条路径对应概率之和。进一步推广，给定输入 ，中间结果对应的路径 ，最终输出 ，则 对 的后验概率可以表示为：
假设不同时间步的输出变量相互独立，那么对于输出路径 对 的后验概率可表示为：
表示路径 在 时间步时对应的输出字符，而 表示在 时间步时选取的字符为 的概率。因此，综合上述两式可得：
简单来说，公式表示的含义为 对 的后验概率等于所有对应路径的概率之和，而每条路径对 的后验概率又等于组成该路径的字符出现概率的乘积。
由于连续重复字符以及占位符的存在，每一个特定的输出 都会对应相当多的路径。如果这里逐一遍历进行求解，那么时间的复杂度可达到 ， 为前面定义的字符集的个数， 为时间步总长。这是因为有 个步长，而每个步长输出的字符又有 种可能性。所以需要对算法进行改进，这里便借鉴了动态规划的思想。
