Kazantzis-Kravaris-Luenberger （ KKL ）非线性观测器

The formulation of the observer design problem is realized via a system of singular first-order linear PDEs, and a rather general set of necessary and sufficient conditions for solvability is derived by using Lyapunov’s auxiliary theorem. （观测器设计问题的表述是通过奇异一阶线性偏微分方程系统实现的，并且利用李雅普诺夫辅助定理推导出了一组相当通用的必要和充分条件。）
(搬运--1998年提出)

一、理论

1、考虑系统（单输出+自治）：

并且假设x=0是系统的平衡点;且f(0)=0,h(0)=0。

2、则相应的非线性观测器为：

二、实例

例如----考虑二阶非线性系统：

显然，

①则上述系统在平衡点（0，0）附近可观，且其雅可比矩阵的特征值:和；

②选择特征值为和的赫维茨矩阵：；

注释---文章中要求雅可比矩阵的特征值满足以：
a、若雅可比矩阵特征值为，满足0 不属于CH{}， CH 代表集合的凸包.
b、且与赫维茨矩阵的特征值特定条件的不相关（即不满足，j=1,2,....p，其中是满足的非负整数）.

从而避免了 上述条件。

③此外，选择使得 系统的{A，b} 是可控的。由于所有假设现在都有效，则一阶系统的偏微分方程（PDEs）：

假设在平衡点 （0，0） 邻域中的存在可逆解。实际上，假设 具有某种多项式形式T 1和 T2，我们将它们的表达式带入上面的微分方程中，并通过各项的系数。我们发现：,。

其Jacobian 为：,显然在x=(0,0)处确实是可逆的。

④从而得到观测器的非线性增益L（x）矩阵为：

⑤最后得到观测器的形式为：

,

注意：

为了能够实际使用所提出的非线性观测器设计方法，必须为相关的一阶线性偏微分方程系统提供求解方案。请注意，特性方法不适用，因为上述偏微分方程系统是单数的。但是，由于f（x），h（x）和解T（x）是围绕参考平衡点进行局部解析的，因此可以围绕参考平衡点以多元泰勒级数的形式计算解T（x）。该方法涉及展开泰勒级数中的f（x），h（x）和未知T（x），并将偏微分方程两侧的泰勒系数相等。这个过程生成了递归公式，通过该公式可以计算 T（x） 的 N阶泰勒系数，给定 T（x） 的泰勒系数到 N−1 阶。

作者Kazantzis, N认为在递归公式的推导中，使用原文中的张量表示法很方便，大家具体可以看看原文末尾一节中的方法。

！！创作不易，希望大家多点赞支持！！

[1]Kazantzis, N., & Kravaris, C. (1998). Nonlinear observer design using Lyapunov’s auxiliary theorem. Systems & Control Letters, 34(5), 241–247. doi:10.1016/s0167-6911(98)00017-6