上篇介绍的传递函数模型的假设是，会影响到，而不会影响到，因此称为外生变量（exogenous variable）。如果和以及更多的变量之间能够相互影响，此时它们就是内生变量（endogenous variable）。向量自回归模型（vector autoregressive model，VAR模型）研究的就是内生变量之间的相互影响作用。
以双变量为例：
式中，、、、是滞后算子多项式，且阶数相同，假设其阶数为，它也称作是VAR模型的阶数。
对于每个变量来说，预测变量包括本身的阶滞后值、其他变量的阶滞后值、其他变量的当期值（或）。
和为白噪声，且彼此互不相关。
将模型形式中的当期值移到等号左侧，变成如下形式：
以矩阵形式写出，
再变换得，
使用一些符号代替上式中的矩阵，得到下式：
式中，，其余依次类推。
上式中，等号右侧不再包含变量的当期值，称为「VAR模型的标准形式」，而包含当期值的形式称为「结构性VAR模型」。
变量当期值之间的相关性被隐藏在模型残差之中。因为，
显然，若变量的当期值之间存在联系，即和至少有一个不为0，则和必然相关；反之，若变量的当期值不存在相互影响，则和也不相关。
此外，模型中还可加入其他项，如截距（即）、时间趋势项、外生变量等。
在R语言中，可以使用vars工具包对VAR模型进行估计。
若VAR模型中有个内生变量，则有个模型表达式。标准形式的VAR模型可以直接使用OLS方法对每个表达式进行估计，使用的函数是VAR()，语法结构如下：
VAR(y, p = 1, type = c("const", "trend", "both", "none"),
season = NULL, exogen = NULL,
lag.max = NULL,
ic = c("AIC", "HQ", "SC", "FPE"))该函数针对的模型形式如下：
参数含义如下：
y：内生变量构成的矩阵，每列代表一个变量；
p：模型阶数；
type：确定成分的类型，包括截距、时间项、二者兼有、二者皆无，分别使用"const"、 "trend"、"both"、"none"表示；
season：居中的季节虚拟变量；
exogen：外生变量构成的矩阵，对应模型形式中的；
lag.max：若模型阶数不确定，可通过此参数设置最大阶数，再根据
ic参数指定的准则确定“最优”阶数；ic：确定“最优”阶数的信息准则。
官方文档示例：
library(vars)
data(Canada)
head(Canada)
## e prod rw U
## [1,] 929.6105 405.3665 386.1361 7.53
## [2,] 929.8040 404.6398 388.1358 7.70
## [3,] 930.3184 403.8149 390.5401 7.47
## [4,] 931.4277 404.2158 393.9638 7.27
## [5,] 932.6620 405.0467 396.7647 7.37
## [6,] 933.5509 404.4167 400.0217 7.13
model <- VAR(Canada, p = 2, type = "const")
summary(model)上述代码会输出每个模型表达式的参数估计结果。以第一个变量e为例：
## Estimation results for equation e:
## ==================================
## e = e.l1 + prod.l1 + rw.l1 + U.l1 + e.l2 + prod.l2 + rw.l2 + U.l2 + const
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## e.l1 1.638e+00 1.500e-01 10.918 < 2e-16 ***
## prod.l1 1.673e-01 6.114e-02 2.736 0.00780 **
## rw.l1 -6.312e-02 5.524e-02 -1.143 0.25692
## U.l1 2.656e-01 2.028e-01 1.310 0.19444
## e.l2 -4.971e-01 1.595e-01 -3.116 0.00262 **
## prod.l2 -1.017e-01 6.607e-02 -1.539 0.12824
## rw.l2 3.844e-03 5.552e-02 0.069 0.94499
## U.l2 1.327e-01 2.073e-01 0.640 0.52418
## const -1.370e+02 5.585e+01 -2.453 0.01655 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
##
## Residual standard error: 0.3628 on 73 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.9985, Adjusted R-squared: 0.9984
## F-statistic: 6189 on 8 and 73 DF, p-value: < 2.2e-16以及残差的协方差矩阵和相关系数矩阵：
## Covariance matrix of residuals:
## e prod rw U
## e 0.131635 -0.007469 -0.04210 -0.06909
## prod -0.007469 0.425711 0.06461 0.01392
## rw -0.042099 0.064613 0.60886 0.03422
## U -0.069087 0.013923 0.03422 0.07821
##
## Correlation matrix of residuals:
## e prod rw U
## e 1.00000 -0.03155 -0.1487 -0.6809
## prod -0.03155 1.00000 0.1269 0.0763
## rw -0.14870 0.12691 1.0000 0.1568
## U -0.68090 0.07630 0.1568 1.0000从前面的标准形式转换成如下结构性VAR形式：
与标准形式相比，，其余以此类推。
虽然标准形式的VAR是从结构性VAR中推导出来的，但该过程是不可逆的。很容易理解，已知和能够得到；反之，已知并不能得到和。
对于结构性VAR模型，只有和中的部分元素已知时才能将其估计出来。
例如，假设已知不受当期值影响，即已知，也即，则此时结构性VAR的其他参数是可以被估计出来的。
估计结构性VAR使用的函数是SVAR()，语法结构如下：
SVAR(x, estmethod = c("scoring", "direct"),
Amat = NULL, Bmat = NULL,
start = NULL, max.iter = 100,
conv.crit = 0.1e-6, maxls = 1.0,
lrtest = TRUE, ...)参数含义如下：
x：使用
VAR()函数估计出的标准形式VAR；Amat、Bmat：对矩阵A和B施加约束。若只对A和B其中一个施加约束，则另外一个默认为单位矩阵；对于需要施加约束的矩阵，已知的元素直接赋给相应的值，待估计的元素设置为NA。
m <- diag(4)
diag(m) <- NA
m[2, 1] <- NA
m[4, 1] <- NA
m
## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] NA 0 0 0
## [2,] NA NA 0 0
## [3,] 0 0 NA 0
## [4,] NA 0 0 NA
smodel <- SVAR(model, Amat = m)
print(smodel)
## SVAR Estimation Results:
## ========================
##
##
## Estimated A matrix:
## e prod rw U
## e 2.756 0.000 0.000 0.000
## prod 0.087 1.533 0.000 0.000
## rw 0.000 0.000 1.282 0.000
## U 2.562 0.000 0.000 4.882
