研究排队问题，就是要把排队的时间控制到一定的程度内，在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。
顾客总数：有限与无限
顾客到达的方式：单个或者成批
记X：顾客到达的时间间隔分布；Y：服务时间的分布；Z：服务台数。
则排队模型为：X/Y/Z。
常用的记号：M—负指数分布；D—确定型；Ek—k阶Erlang分布；GI—一般相互独立的随机分布；G—一般随机分布。这里主要讨论M/M/1,/M/M/C。
设x(t)为时间[0,t]内流事件发生的次数。例如[0,t]时间内到来的顾客数，[0,t]时间内服务台收到呼叫的此时。那么我们一般假定x(t)满足泊松过程，也称为poisson流或最简单流，表示[0,t]时间内事件发生次数为k次的概率服从泊松分布：
\(P( x(t)=k ) = \frac{(\lambda k)^k}{k!}e^{-\lambda t} \)
其中参数\(\lambda\)表示单位时间内事件发生次数的平均数。
当流过程为泊松过程时，设流发生的时刻依次为t1，t2，…tn，发生时间的间隔记为dn=tn - tn-1 (n=1,2,…)，其中t0=0。
定理： 事件流x(t)为泊松流的充要条件是x(t)流发生的时间间隔dn相互独立，且服从相同的负指数分布，即
（负）指数分布满足以下性质：
\(P(T<=t0+x | T>=t0)=P(T<=x) \)
如果把T解释为寿命，上式表名：如果已知年龄大于t0岁，则再活x年的概率与以前的t0无关。所以有时又风趣地称指数分布是“永远年轻”。
请看下面例题（来自另一份ppt）：
绝对通过能力A：单位时间内被服务被服务顾客的数学期望
相对通过能力Q：被服务顾客的顾客数与请求服务顾客的顾客数的比值
系统损失概率\(P_损\)：服务系统满员的概率
队长\(L_系\)：系统内顾客数量的数学期望值
排队长\(L_队\)：系统内排队顾客数的数学期望值
逗留时间\(W_系\)：顾客在系统内逗留时间的数学期望值
排队时间\(W_队\)：系统内顾客排队等待服务时间的数学期望
下面以多通道损失制系统为例
设系统内有n个服务员，顾客来到服务系统时如果服务员正在忙，顾客不能立即得到服务，则顾客离去。
某电话总机有3条中继线，平均每分钟有0.8次呼唤。如果每次通话时间平均为1.5分钟，试求：系统状态的极限概率；绝对通过能力和相对通过能力；损失概率和占用通道的平均数。
解释一下，这里\(\mu\)是1.5的倒数。
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 1007;
double jc(int k) { //阶乘
double ans = 1;
for (int i = 2; i <= k; i++) {
ans *= i;
}
return ans;
}
int main() {
double n = 3, lamda = 0.8, u = 0.667;
double miu = lamda / u;
double p0 = 1, cur = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) {
cur += pow(miu, i) / jc(i);
}
p0 /= cur;
double p_sun = pow(miu, n) * p0 / jc(n);
double Q = 1 - p_sun;
double A = lamda * Q;
double K = miu * (1 - p_sun);
double zyl = K / n;
cout<<"-----输入各项参数：-----\n";
cout<<"服务员个数："<<n<<endl;
cout<<"顾客流强度："<<lamda<<endl;
cout<<"服务台能力："<<u<<endl;
cout<<"-----系统效率指标：-----\n";
cout<<"损失概率= "<<p_sun<<endl;
cout<<"系统的相对通过能力= "<<Q<<endl;
cout<<"系统的绝对通过能力= "<<A<<endl;
cout<<"占用服务员的平均数= "<<K<<endl;
cout<<"通道占用率= "<<zyl<<endl;
return 0;
}
运行结果
-----输入各项参数：-----
服务员个数：3
顾客流强度：0.8
服务台能力：0.667
-----系统效率指标：-----
损失概率= 0.08969
系统的相对通过能力= 0.91031
系统的绝对通过能力= 0.728248
占用服务员的平均数= 1.09183
通道占用率= 0.363942对于单通道损失制系统，只需将上面程序的n改成1即可。
下面以多通道等待制模型为例
设本系统顾客到达流为泊松流，其强度为\(\lambda\)。系统内有n个服务员，服务员具有相同服务时间且服从指数分布，其强度为\(\mu\)。当顾客到达时，如果服务员忙着，顾客排队等待服务，一直等到有服务员为他服务为止。
对于多通道等待制系统有：
\(p_0=1-\lambda\) （此处ppt上没说清楚，这个p0是猜测，待验证）
对于单通道等待制系统有：
某临时假设的公路简便桥，桥上不容许同时又两辆汽车通过。若汽车到达流为泊松流，其强度为\(\lambda\)=2.1辆/分钟。通过时间为指数分布，平均每辆的通过时间为0.4分钟，试求系统的效率指标。
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1007;
double jc(int k) { //阶乘
double ans = 1;
for (int i = 2; i <= k; i++) {
ans *= i;
}
return ans;
}
int main() {
double n = 1, lamda = 2.1, u = 2.5;
double miu = lamda / u;
double p0 = 1-miu;
double p_sun = 0;
double Q = 1 - p_sun;
double A = lamda * Q;
double L_dui = pow(miu, n + 1) *p0 / (n * jc(n)) ;
L_dui /= (1 - miu / n) * (1 - miu / n);
double W_dui = L_dui / lamda;
double K = miu * (1 - p_sun);
double L_xi = L_dui + miu;
double W_xi = L_xi/lamda;
cout << "-----输入各项参数：-----\n";
cout << "服务员个数：" << n << endl;
cout << "顾客流强度：" << lamda << endl;
cout << "服务台能力：" << u << endl;
cout << "-----系统效率指标：-----\n";
cout << "损失概率= " << p_sun << endl;
cout << "系统的相对通过能力= " << Q << endl;
cout << "系统的绝对通过能力= " << A << endl;
cout << "系统内排队顾客的平均数= " << L_dui << endl;
cout << "顾客的平均排队时间= " << W_dui << endl;
cout << "占用服务员的平均数= " << K << endl;
cout << "系统内顾客的平均数= " << L_xi << endl;
cout << "顾客在系统中平均逗留时间= " << W_xi << endl;
return 0;
}
运行结果如下：
-----输入各项参数：-----
服务员个数：1
顾客流强度：2.1
服务台能力：2.5
-----系统效率指标：-----
损失概率= 0
系统的相对通过能力= 1
系统的绝对通过能力= 2.1
系统内排队顾客的平均数= 4.41
顾客的平均排队时间= 2.1
占用服务员的平均数= 0.84
系统内顾客的平均数= 5.25
顾客在系统中平均逗留时间= 2.5