目录
1、堆排序
法一:自己写堆进行排序
时间复杂度分析
法二:直接对数组建堆
①、向上调整建堆
②、向下调整建堆
向上建堆和向下建堆熟优?
升序能否建小堆?
排序(建大堆)
2、TopK问题
何为Topk?
实现过程
1、堆排序
现在想要对它进行排序,按照我们之前学过的知识,想要单纯的实现排序其实并不难,可以直接暴力排序,也可以冒泡排序,甚至使用库函数qsort进行排序……
但是,既然近期学习了堆,那么堆的一个重要应用就是进行堆排序,这里先简要提下:堆排序即快排的一种。在后面的学习中,我将为大家继续展开其它更多样的快排。今儿个就向各位浅谈下快排之一:堆排序
法一:自己写堆进行排序
在上篇博文中,我们模拟实现了堆,实现后即可对一串乱序数组进行堆排序。假设我们排升序,且堆为小根堆。实现过程非常简单。
- 首先,把数组的每个元素(HeapPush)插入到堆中。
- 其次,我们深知小根堆的堆顶是最小的数字,依次遍历堆顶(HeapTop)的元素,将堆顶元素赋值到数组里,从下标0开始,赋值后删除(HeapPop)堆顶元素,++数组下标。此时堆就会重新调整,最终堆顶依旧是最小的,再重复上述赋值堆顶到数组的操作,直到堆为空(HeapEmpty)
//堆排序 --- 升序
void HeapSort(int* a, int size)
{
//创建堆结构并初始化
HP hp;
HeapInit(&hp);
//将数组元素插入堆中
for (int i = 0; i < size; i++)
{
HeapPush(&hp, a[i]);
}
size_t j = 0;
//依次遍历,取堆顶赋值数组,++下标,pop堆顶,依次循环,直至堆为空
while (!HeapEmpty(&hp))
{
a[j] = HeapTop(&hp);
j++;
HeapPop(&hp);
}
//记得销毁动态开辟空间
HeapDestroy(&hp);
}
int main()
{
int a[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 };
HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int)); //实现堆排序
for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
{
printf("%d ", a[i]); //打印
}
printf("\n");
return 0;
}
时间复杂度分析
for (int i = 0; i < size; i++)
{
HeapPush(&hp, a[i]);
}
此段代码的时间复杂度为O(N*logN),因为HeapPush函数的内部执行过程就是把数组的每个元素插入堆中,有N次。接着,每插入一个数据都要重新向上调整(AdjustUp)高度次以确保为堆,每个都要调整高度次,高度为logN,综上此段为O(N*logN)
while (!HeapEmpty(&hp))
{
a[j] = HeapTop(&hp);
j++;
HeapPop(&hp);
}
此段的时间复杂度同样为O(N*logN),原理跟上一段类似,不过多赘述。
综上,时间复杂度为O(N*logN),确实比我们先前的冒泡排序O(N^2)要快不少。但是,这个方法排序是及其不好的,因为难道说为了实现堆排序还要自己手写一个完整的堆吗?这么复杂的实现堆的过程还不如不用堆排序了,这种伤敌一千,自损八百的感脚实在是难受。更何况此法的空间复杂度也是很大的,达到了惊人的O(N)。原因是实现堆的过程是动态开辟的,所以空间复杂度自然是O(N)。可不可以换一更优的方法,但同样是利用堆的思想实现快排呢?
现在我们要求如下:
- 依旧是堆的思想
- 时间复杂度O(N*logN)
- 空间复杂度O(1)
前面我们已经知晓,数组即为完全二叉树,为什么还要实现一个堆呢?直接把数组看作堆难道不香嘛?由此我们引出:直接对数组建堆。详解见下文:
法二:直接对数组建堆
再来看下这串乱序数组:
既然上文说到可以直接把它看作二叉树,那不妨把逻辑结构画出来看看:
接下来,我们就要进行建堆了,有两种方法:
- 使用向上建堆,插入数据的思想建堆
- 使用向下调整建堆
①、向上调整建堆
首先,我们把第一个数字看成堆,也就是4,当第二个数字插入进去的时候,进行向上调整算法,使其确保为小堆,向上调整的算法在上篇博文已详细讲解过,不过多赘述。具体插入数据过程就是遍历数组,确保数组里每一个数进行向上调整算法
//交换
void Swap(int* pa, int* pb)
{
int tmp = *pa;
*pa = *pb;
*pb = tmp;
}
//向上调整算法
void AdjustUp(int* a, size_t child)
{
size_t parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
//if (a[child] > a[parent]) //大根堆
if (a[child] < a[parent]) //小根堆
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
//升序
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆
int i = 0;
for (i = 1; i < n; i++) //应该从i=1时遍历,因为第一个数据在堆里不需要调整,后续再插入时调整
{
AdjustUp(a, i);
}
}
int main()
{
int a[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 };
HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
{
printf("%d ", a[i]);
}
return 0;
}
符合小堆的性质
②、向下调整建堆
答案:不能
解析:首先回顾下使用向下调整的前提是什么?必须得确保根结点的左右子树均为小堆才可,而这里,数组为乱序的,无法直接使用。
- 解决办法:从倒数第一个非叶结点开始向下调整,从下往上调
分析:从该解决方案中,我们首先要找到这个倒数第一个非叶结点的数在哪?其实最后一个结点的父亲即为倒数第一个非叶结点。当我们找到这个非叶结点时,把它和它的孩子看成一个整体,进行向下调整。调整后,再将次父节点向前挪动,再次向下调整,依次循环下去。
- leftchild = parent*2 + 1
- rightchild = parent*2 + 2
- parent = (child - 1) / 2
//升序
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆
//1、向上调整
int i = 0;
for (i = 1; i < n; i++) //应该从i=1时遍历,因为第一个数据在堆里不需要调整,后续再插入时调整
{
AdjustUp(a, i);
}
//2、向下调整
for (int i = (n - 1 - 1)/2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i);
}
}
符合小堆的性质
向上建堆和向下建堆熟优?
从上图中,我们可以看出,使用不同的方式建堆最后的样子是不同的,那哪种方式好呢?
-
接下来,我将通过时间复杂度的方式为大家解惑:以一颗满二叉树为例:
时间复杂度计算的是其调整的次数,根据上文的知识我们已经知晓其是从数组的第二个元素开始的,也就是可以理解为第二层的第一个节点。计算的思想非常简单:计算每层有多少个节点乘以该层的高度次,然后累计相加即可。如下:
通过计算得知:向上建堆的时间复杂度为O(N*logN)
向下调整我们前面已经知道它是从倒数第1个非叶节点开始调整的,每层的调整次数为,该层的节点个数*该层高度减1,一直从第1层开始调直至倒数第2层,并将其依次累加,此计算过程和向上调整差不多,都是等比*等差的求和,过程如下:
通过计算得知:向下建堆的时间复杂度为O(N)
通过上述计算,我们得到如下:
- 向上建堆:O(N*logN)
- 向下建堆:O(N)
由此可见,使用向下建堆的方式更优,其时间复杂度较小。当然,使用向上建堆也是可以的,只不过向下建堆更好一点。
升序能否建小堆?
解析:
从上文我们已经知道建堆用向下建堆是比较优的,为O(N),并且建好堆后第一个位置的数字即为最小的,此时第一个数字已经确定了并且是最小的,但如若使用小堆的话,也就是需要从第二个数字开始往后看成一个堆,此时关系就全乱了,不再符合小堆的性质,此时也就意味着我们需要从第二个数字往后重新向下建堆,以确保此时的堆顶也就是数组第二个元素为次小的,并以此类推重新建堆确保第三个次小的,依次循环下去……如果这样做,还不如直接遍历选数!搞这么复杂。
排序(建大堆)
首先,得明确我们建堆后,此时堆顶就是最大的数据,现在我们把第一个数字和最后一个数字交换,把最后一个数字不看做堆里的,只需要数组个数N--即可。此时的左子树和右子树依旧是大堆,再进行向下调整即可。
//交换
void Swap(int* pa, int* pb)
{
int tmp = *pa;
*pa = *pb;
*pb = tmp;
}
//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, size_t size, size_t root)
{
int parent = (int)root;
int child = 2 * parent + 1;
while (child < size)
{
//1、确保child的下标对应的值最大,即取左右孩子较大那个
if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child]) //得确保右孩子存在
{
child++; //此时右孩子大
}
//2、如果孩子大于父亲则交换,并继续往下调整
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = 2 * parent + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
//升序
void HeapSort(int* a, int n)
{
//向下调整建堆
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i);
}
//大堆升序
size_t end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);
AdjustDown(a, end, 0);
end--;
}
}
int main()
{
int a[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 };
HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
{
printf("%d ", a[i]);
}
return 0;
}
2、TopK问题
何为Topk?
-
TOP-K问题:N个数里面找出最大/最小的前k个。一般情况下数据量都比较大。
比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题,我们能想到的方法有很多,如下:
-
排序 -- 时间复杂度:O(N*logN)。 空间复杂度:O(1) -- 要求进一步优化。
-
建立N个数的大堆,Pop K次,就可以找出最大的前K个 -- 时间复杂度:O(N+logN*k)。空间复杂度:O(1)
有可能N非常大,以至于远大于K。比如100亿个数里面找出最大的前10个。此时上面的方法就不能用了,因为此时会导致内存不够。就好比我现在想知道100亿个整数需要多少空间?
- 1G = 1024MB
- 1024MB = 1024*1024KB
- 1024*1024KB = 1024*1024*1024Byte ≈ 10亿字节
- 一个整数4个字节,100亿个整数400亿个字节,≈40G
40个G内存根本放不下,说明100亿个整数是放在磁盘中的,也就是文件中。由此得知上述方法不得行,得寻找一个更优解。
用前K个数建立一个K个数的小堆,然后剩下的N-K个依次遍历,如果比堆顶的数据大,就替换它进堆(向下调整),最后堆里面的K个数就是最大的K个。
- 时间复杂度:O(K + logK * (N-K))
- 空间复杂度:O(K)
实现过程
以从1w个数里找出最大的前10个数为例:
//向下调整算法
void AdjustDown(int* a, size_t size, size_t root)
{
int parent = (int)root;
int child = 2 * parent + 1;
while (child < size)
{
//1、确保child的下标对应的值最小,即取左右孩子较小那个
if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child]) //得确保右孩子存在
{
child++; //此时右孩子大
}
//2、如果孩子小于父亲则交换,并继续往下调整
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = 2 * parent + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
// 1. 建堆--用a中前k个元素建堆
int* kminHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
assert(kminHeap);
for (int i = 0; i < k; i++)
{
kminHeap[i] = a[i];
}
//建小堆
for (int j = (k - 1 - 1) / 2; j >= 0; j--)
{
//从倒数第一个非叶节点开始
AdjustDown(a, k, j);
}
// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换,不满则则替换
for (int i = k; i < n; i++)
{
if (a[i] > kminHeap[0])
{
kminHeap[0] = a[i]; //如果比堆顶大,就替换
AdjustDown(kminHeap, k, 0); //向下调整确保为堆
}
}
for (int j = 0; j < k; j++)
{
printf("%d ", kminHeap[j]);
}
printf("\n");
free(kminHeap);
}
void TestTopk()
{
int n = 10000;
int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
srand(time(0));
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
a[i] = rand() % 1000000; //产生一个随机数,数值均小于100万
}
a[5] = 1000000 + 1;
a[1231] = 1000000 + 2;
a[531] = 1000000 + 3;
a[5121] = 1000000 + 4;
a[115] = 1000000 + 5;
a[2335] = 1000000 + 6;
a[9999] = 1000000 + 7;
a[76] = 1000000 + 8;
a[423] = 1000000 + 9;
a[3144] = 1000000 + 10;
PrintTopK(a, n, 10);
}
int main()
{
TestTopk();
return 0;
}