平稳过程的各态历经性

1.各态历经的定义

如果一个随机过程是平稳的，而且是均值和相关函数都具有各态历经性，那么我们称这个平稳过程具有各态历经性。

• 均值各态历经的定义
  < X t > = l . i . m T → ∞ 1 2 T ∫ − T T X t d t <X_t>=l.i.m_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X_tdt <Xt​>=l.i.mT→∞​2T1​∫−TT​Xt​dt若 < X t > <X_t> <Xt​>以概率1有 < X t > = m x ( t ) <X_t>=m_x(t) <Xt​>=mx​(t),则称之为均值具有各态历经性
• 相关函数各态历经的定义
  < X t ‾ X t + τ > = l . i . m T → ∞ 1 2 T ∫ − T T X t ‾ X t + τ d t <\overline{X_t}X_{t+\tau}>=l.i.m_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\overline{X_t}X_{t+\tau}dt <Xt​​Xt+τ​>=l.i.mT→∞​2T1​∫−TT​Xt​​Xt+τ​dt
  若 < X t ‾ X t + τ > <\overline{X_t}X_{t+\tau}> <Xt​​Xt+τ​>以概率1有 < X t ‾ X t + τ > = R x ( τ ) <\overline{X_t}X_{t+\tau}>=R_x(\tau) <Xt​​Xt+τ​>=Rx​(τ)[因为是平稳过程]

2.例题

2.1 例1

设 X t = a c o s ( w t + θ ) X_t=acos(wt+\theta) Xt​=acos(wt+θ),其中 a , w a,w a,w均为常数， θ \theta θ服从 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]上的均匀分布，讨论 X t X_t Xt​的各态历经性

• 解：
  m x ( t ) = ∫ 0 2 π 1 2 π a c o s ( w t + θ ) d t = ∫ 0 2 π 1 2 π [ a c o s w t c o s θ − a s i n w t s i n θ d t = 0 m_x(t)=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2\pi}acos(wt+\theta)dt=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2\pi}[acoswtcos\theta -asinwtsin\theta dt=0 mx​(t)=∫02π​2π1​acos(wt+θ)dt=∫02π​2π1​[acoswtcosθ−asinwtsinθdt=0 R X ( t , t + τ ) = ∫ 0 2 π 1 2 π a c o s ( w t + θ ) a c o s ( w t + w τ + θ ) d t = a 2 2 c o s w t R_X(t,t+\tau)=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2\pi}acos(wt+\theta)acos(wt+w\tau+\theta)dt=\frac{a^2}{2}coswt RX​(t,t+τ)=∫02π​2π1​acos(wt+θ)acos(wt+wτ+θ)dt=2a2​coswt所以该过程为平稳过程。 < X t > = l . i . m T → ∞ 1 2 T ∫ − T T a c o s ( w t + θ ) d t = l . i . m T → ∞ 1 2 T ∫ − T T a [ c o s w t c o s θ − s i n w t s i n θ d t <X_t>=l.i.m_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}acos(wt+\theta)dt=l.i.m_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}a[coswtcos\theta -sinwtsin\theta dt <Xt​>=l.i.mT→∞​2T1​∫−TT​acos(wt+θ)dt=l.i.mT→∞​2T1​∫−TT​a[coswtcosθ−sinwtsinθdt因为 s i n w t sinwt sinwt是奇函数，所以在对称区间上积分为零，故上式可以写为 < X t > = l . i . m T → ∞ a c o s θ 2 T ∫ − T T a c o s w t d t = l . i . m T → ∞ a c o s θ 2 T 2 a w s i n w T = 0 <X_t>=l.i.m_{T\rightarrow \infty}\frac{acos\theta}{2T}\int_{-T}^{T}acoswtdt=l.i.m_{T\rightarrow \infty}\frac{acos\theta}{2T}\frac{2a}{w}sinwT=0 <Xt​>=l.i.mT→∞​2Tacosθ​∫−TT​acoswtdt=l.i.mT→∞​2Tacosθ​w2a​sinwT=0接下来求一求互相关函数 < X t ‾ X t + τ > = l . i . m T → ∞ 1 2 T ∫ − T T a c o s ( w t + θ ) a c o s ( w t + w τ + θ ) d t = l . i . m T → ∞ a 2 4 T ∫ − T T c o s ( 2 w t + w τ + 2 θ ) + c o s w τ d t <\overline{X_t}X_{t+\tau}>=l.i.m_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}acos(wt+\theta)acos(wt+w\tau+\theta)dt=l.i.m_{T\rightarrow \infty}\frac{a^2}{4T}\int_{-T}^{T}cos(2wt+w\tau+2\theta)+cosw\tau dt <Xt​​Xt+τ​>=l.i.mT→∞​2T1​∫−TT​acos(wt+θ)acos(wt+wτ+θ)dt=l.i.mT→∞​4Ta2​∫−TT​cos(2wt+wτ+2θ)+coswτdt = l . i . m T → ∞ a 2 4 w T s i n ( 2 w T + w τ + 2 θ ) + a 2 2 c o s w T = a 2 2 c o s w T = R X ( t , t + τ ) =l.i.m_{T\rightarrow \infty}\frac{a^2}{4wT}sin(2wT+w\tau+2\theta)+\frac{a^2}{2}coswT=\frac{a^2}{2}coswT=R_X(t,t+\tau) =l.i.mT→∞​4wTa2​sin(2wT+wτ+2θ)+2a2​coswT=2a2​coswT=RX​(t,t+τ)由此可得，该过程是各态历经的过程

2.2例2

随机过程 X t X_t Xt​具有概率分布 P ( x = i ) = 1 3 , i = 1 , 2 , 3 P(x=i)=\frac{1}{3},i=1,2,3 P(x=i)=31​,i=1,2,3试讨论 X t X_t Xt​的各态历经性。

• 解：
  m x ( t ) = 1 × 1 3 + 2 × 1 3 + 3 × 1 3 = 2 , R x ( t , t + τ ) = E [ X 2 ] = 14 3 m_x(t)=1\times \frac{1}{3}+2\times \frac{1}{3}+3 \times \frac{1}{3}=2,Rx(t,t+\tau)=E[X^2]=\frac{14}{3} mx​(t)=1×31​+2×31​+3×31​=2,Rx(t,t+τ)=E[X2]=314​显然，该过程是平稳的

< X t > = l . i . m T → ∞ 1 2 T ∫ − T T X t d t = X t ≠ m x ( t ) <X_t>=l.i.m_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X_tdt=X_t\neq m_x(t) <Xt​>=l.i.mT→∞​2T1​∫−TT​Xt​dt=Xt​​=mx​(t)所以可以得到，该过程不具有各态历经性

3.各态历经性的判定

设 X = { X t , − ∞ < t < + ∞ } X=\{X_t,-\infty<t<+\infty\} X={Xt​,−∞<t<+∞}是平稳过程，则 X X X的均值函数具有各态历经性的充要条件是 l i m T − > + ∞ 1 2 T ∫ − 2 T 2 T ( 1 − ∣ τ ∣ 2 T ) C x ( τ ) d τ = 0 lim_{T->+\infty}\frac{1}{2T}\int_{-2T}^{2T}(1-\frac{|\tau|}{2T})C_x(\tau)d\tau=0 limT−>+∞​2T1​∫−2T2T​(1−2T∣τ∣​)Cx​(τ)dτ=0


积分积分不会求