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矩阵分析L6矩阵函数

2023-11-10

一、范数

1.范数与内积

  • 内积：对两个空间进行内积运算可以得到一个实数集
  • 范数：对一个空间可以直接进行向量“大小”的衡量，得到实数集
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2.向量范数

正定性：范数为0，则每个向量必为0

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3.例题（向量范数判断）在这里插入图片描述

4.p级范数

注意，范数|Y|若是一个平面直角坐标系，横轴为实数，纵轴为虚数。值为平面坐标系中线段长度。

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x的1-范数为：1+|2+i|+|i|+1= 根号（5） + 3
x的2-范数为：根号（1+5+1+1）= 根号（8）
x的无穷范数为：max{1,根号（5），1,1}=根号（5）

作用在于：对于赋范线性空间的量化
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另外，我们可以通过范数求得向量序列的极限
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5.范数等价

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例如：1-范数为菱形，2-范数构成了一个圆：
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由于矩阵可以表示为mn维向量，于是将Aij元素看作一个向量。
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6.方阵范数

方阵范数比向量范数多了一个相容性，因为方阵可以进行矩阵乘法

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常用的矩阵范数

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7.方阵范数与向量范数的相容性

  • 定义
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  • 相容性的直观解释
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  • 相容性的作用
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  • 重要结论
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    例如：
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8.特征值与范数的关系

对矩阵A

注：利用该定理，可以对特征值的模进行估计

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求矩阵的范数，第一范数是对列元素求模相加后取最大值；无穷范数是对行元素求模相加后取最大值。

二、向量序列和矩阵序列的极限

1.概念

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2.性质

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3、例题（求矩阵极限）

感觉和普通极限求解差不多，就是每个元素对应位置都要求一个极限。
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4.例题（幂矩阵极限为0）

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三、矩阵幂级数

1、矩阵级数

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2、例题（求矩阵极限）

每个矩阵元素位置都求极限
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注意等比数列计算公式：
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3、收敛性质

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四、矩阵函数收敛性

1.概念

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复级数是由一个实数加虚数组成的，其中实部和虚部部分都是实函数。

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2.收敛半径计算

![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/e428480aff0e40c989eaa70f77ac30c6.png?x-oss-process=image/watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETiBAbGVlMjgxMw==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16

3.谱半径计算

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4.复幂级数计算

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5.例题（矩阵幂级数收敛性判断）

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6.例题（矩阵幂级数收敛性判断）

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7.例题（矩阵幂级数收敛性判断）

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五、矩阵函数

1.概念

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2.待定系数法求函数值

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3.例题（待定系数法求矩阵函数）

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4.例题（待定系数法求矩阵函数）

？？最小多项式不明白为什么变成了2
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五、函数矩阵的微分与积分

就是把每个位置上的元素分别进行了微分和积分
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六、矩阵函数在微分方程组的应用

这个A是咋得出来的。。。
解答：A中每一行对应一个微分式子，第一个元素为0表示是对x1微分，所以为0；第二个元素为1是积分式中x2前的系数为1。
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1.一阶线性常微分齐次微分方程组的计算

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2.例题（一阶线性常微分齐次微分方程组的计算）

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  • 首先，将原始方程组转换为一般形式，求出A^n
  • 然后计算出eAt，并按照An进行化解
  • 最后将上式中的级数分解并合并，根据X(t)=e^AtX0求出X(t)
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数学

矩阵

线性代数

几何学

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