Nakagami-m 分布是日本学者Nakagami 在1960年的一篇论文中提出的快衰落模型。

Nakagami-m 的表达式

我们遵照参考文献[1]的说法¹ ，假设接收信号表示如下：

r n = g n s n + w n r_n = g_ns_n+w_n rn​=gn​sn​+wn​

其中 r n r_n rn​表示接收信号， g n g_n gn​表示信道增益， s n s_n sn​表示发射信号， w n w_n wn​是白噪声干扰。这个公式中我们默认 r n r_n rn​和 s n s_n sn​是电压或者电流信号，这样如果利用香农公式求解信道容量时我们需要转变成信噪功率比。

而 Nakagami-m 描述得就是 g n g_n gn​的变化情况。我们知道信号经过路径损耗之后，由于信道短时间内的变化还会发生快衰落，即 g n g_n gn​在某一值附近随机抽样。Nakagami-m 分布就是对这一“随机性”的描述。

Nakagami-m 分布的概率密度函数表示如下：

f ( g ) = 2 m m ⋅ g 2 m − 1 Γ ( m ) ⋅ Ω ⋅ exp ⁡ − m g 2 Ω , g ≥ 0 , m ≥ 1 2 f(g)=\frac{2m^m\cdot g^{2m-1}}{\Gamma(m)\cdot \Omega}\cdot \exp ^{-\frac{mg^2}{\Omega}}, g\geq 0, m \geq \frac{1}{2} f(g)=Γ(m)⋅Ω2mm⋅g2m−1​⋅exp−Ωmg2​,g≥0,m≥21​

其中 Γ ( g ) \Gamma(g) Γ(g)表示伽马函数， Ω \Omega Ω表示 g g g的归一化方差的逆。但是在参考文献[1]中表示信道增益平方的期望，即 Ω = E [ ∣ g ∣ 2 ] \Omega =\mathbb{E}[|g|^2] Ω=E[∣g∣2] ¹ ，参考文献[2]中表示为平均发射功率 ²。Nakagami 原论文说的“归一化方差的逆”我不理解，而后两种说法应该是相同的。之前提到的 g n g_n gn​是电压或者电流的增益，平方一下就是功率的增益。我们一般仿真也是直接按照功率来设置的，比如XXdBm。
参数 m m m表示衰落的程度，值越大衰落越严重。 m = 0.5 m=0.5 m=0.5时是单边高斯分布， m = 1 m=1 m=1时是瑞利分布， m = ∞ m=\infty m=∞时是随机信道。

伽马分布

更进一步，当 g n g_n gn​满足Nakagami-m分布时， ∣ g n ∣ 2 |g_n|^2 ∣gn​∣2满足伽马分布。也就是说我们在仿真时没必要对 g n g_n gn​抽样，直接对 ∣ g n ∣ 2 |g_n|^2 ∣gn​∣2抽样再乘以发射功率就可以了。

下面我们用随机变量函数的概率分布推导这个结论。

设随机变量 X ∼ N a k a g a m i − m ， Y = X 2 X\sim {\rm Nakagami}-m，Y=X^2 X∼Nakagami−m，Y=X2，那么随机变量 Y Y Y的分布函数有
F Y ( y ) = P ( Y < y ) = P ( X 2 < y ) = P ( X < y ) ( X 非 负 ) = ∫ − ∞ y f X ( x ) d x \begin{aligned} F_Y(y)&=P(Y<y)\\ &=P(X^2<y)\\ &=P(X<\sqrt{y})(X{\rm 非负)}\\ &=\int_{-\infty}^{\sqrt y} f_X(x) {\rm d}x \end{aligned} FY​(y)​=P(Y<y)=P(X2<y)=P(X<y ​)(X非负)=∫−∞y ​​fX​(x)dx​
对分布函数求导即可得到概率密度函数，这里利用变上限积分求导法则容易得到：
f Y ( y ) = F Y ′ ( y ) = f X ( y ) ⋅ 1 2 y \begin{aligned} f_Y(y)&=F_Y^{'}(y)\\ &=f_X(\sqrt y)\cdot \frac{1}{2\sqrt y} \end{aligned} fY​(y)​=FY′​(y)=fX​(y ​)⋅2y ​1​​
把Nakagami-m分布中的 x x x换成 y \sqrt y y ​并乘以 1 2 y \frac{1}{2\sqrt y} 2y ​1​即可得到随机变量 Y Y Y的概率密度函数：
f Y ( y ) = m m ⋅ y m − 1 Γ ( m ) ⋅ Ω ⋅ exp ⁡ − m y Ω , y ≥ 0 , m ≥ 1 2 f_Y(y)=\frac{m^m \cdot y^{m-1}}{\Gamma (m)\cdot \Omega}\cdot \exp ^{-\frac{my}{\Omega}},y\geq 0, m\geq \frac{1}{2} fY​(y)=Γ(m)⋅Ωmm⋅ym−1​⋅exp−Ωmy​,y≥0,m≥21​
这个形式便是伽马分布。

Python的相关包

Nakagami-m的Python包可以用scipy.stats.nakagami，文档页面的密度函数公式中取的 Ω = 1 \Omega = 1 Ω=1。
伽马分布可以用numpy.random.gamma，文档的公式中 Ω = 1 \Omega = 1 Ω=1，另一个参数 θ = Ω / k \theta =\Omega /k θ=Ω/k， k k k也就是本文中的 m m m。
可以看到 k θ = Ω k \theta=\Omega kθ=Ω，即伽马分布的均值为形状参数 k k k和尺度参数 θ \theta θ的乘积，伽马分布的方差为 k θ \sqrt k \theta k ​θ。一些图像