写在最前面：
我这个人比较喜欢炫耀，尤其发现别人在我面前炫耀的时候，我就会试图用我所学的知识盖过他的锋芒。所以呢，当初在Gilbert string老爷爷的课程里面第一次听到高斯若尔当这个词汇的时候，整个人就炸了，为什么我之前只听过高斯消元？难道美国人学的高斯若尔当消元跟我们这边学的高斯消元不一样？那我要是把这个学会了，岂不是又多了一个炫耀的资本？虽然，现在的我依然会有这种想法，但是，在我整理和学习的过程中，更多的是对高斯和若尔当两为科学家的尊重。希望自己，也希望更多的人记住他们。这个消元法是他们两个人在不同的地方，独自发明的。我的很多文章后面也有注明出处，也是希望尊重别人的劳动成果，这也是对别人的认可。我在调整我的心态。。。
高斯消元法的目的就是为了求解n*n的线性方程组,就是要把原始矩阵化简成行阶梯矩阵Row Echelon Form。然后再用回代法Back Substitution，逐一求得各各个未知数的解。
下面先看一个实例，这是维基的截图：
消元的基本理念：
现有一个2*2方程组，方程1为 a11x - a12y = b1, 方程2为a21x + a22y = b2。要想把第2个方程中的未知数x消掉，首先令第1个方程的左右两边都乘以a21/a11，得到“新方程1”，然后再用第2个方程减去这个“新方程1”，就可以了。
例如，对于下面的这个2x2的方程组，a11=4, a21=3, a21/a11=3/4 。
对于一个两个未知数，两个方程的线性方程组而言。经过高斯消元法，最终会生成一个上三角矩阵Upper Triangular(见下图中的蓝色框框)，也叫行阶梯矩阵(英文叫Row Echelon Form)。其中，上三角矩阵对角线上的元素被称为主元（pivot）。然后，从上三角矩阵的最后一行（8y=8 ---> y=1）开始，逐行往上算(y=1 ---> x=3)，最终就会得到所有未知数的解(x=3,y=1)。
2x2:
3x3:
高斯消元的基本流程：
如果只是高斯消元法的话，那么化简成我草稿里面的那个“死样子”就可以了。但是，如果是高斯若尔当消元法的话，就需要继续消元，把主元上面的未知数也全部消除掉，最终化简成：对角线上全是1，其他地方的值都为0，即对角阵diagonal matrix。这就是最简行阶梯矩阵(英文叫Reduced Row Echelon Form),这也正是matlab里面的消元函数rref()的来源。
高斯若尔当消元的基本流程：
注意下图中，我在中间画的一条黑色虚线，把高斯消元法和高斯若尔当消元法，一分为二。
不论是高斯消元法，还是高斯若尔当消元法都有一个缺点，那就是必须提前知道方程组的右边，即b。而LU分解法就没有这一缺点，无论方程组的右边是什么，他都可以求解，而且还可以求解矩阵的逆。（但是一般情况下，都不建议求矩阵的逆，至于为什么，可以看看我写的另外一篇文章《矩阵求逆的几种方法》）
拓展阅读：
对于任意矩阵A而言，如果通过行化简后变成下面的矩阵U，就是高斯消元。如果化简成下面的矩阵R就是高斯若尔当消元。
（全文完）
作者---松下J27
参考文献(鸣谢)：
【1】Introduction to Linear Algebra - Gilbert Strang.
格言摘抄：
心怀二意的人，在他一切所行的路上都没有定见。----雅各书1章8节
（A double minded man is unstable in all his ways. ---James 1:8）
（配图与本文无关）
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https://www.craftonhills.edu/current-students/tutoring-center/mathematics-tutoring/matrices-gauss-jordan.pdf
https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/