MATLAB
————Matrix laboratory
一般操作：
1.操作界面：主窗口，命令窗口，工作空间窗口，当前目录窗口和搜索路径
2.帮助系统： help命令 lookfor命令
help 函数名
help（‘函数名’）
lookfor 函数名 %lookfor命令更加宽松，检索所有m文件返回包含函数名的全部函数
3.注释：%这是一条注释
4.语句后加；不显示结果
5.clc 清空命令行窗口，clf 清除figure上图像
数值类型：整型，浮点型
字符类型
注意：
1.MATLAB的处理对象是矩阵（可以理解为MATLAB系统实现了矩阵这种特殊数据结构，数据以矩阵形式进行存储操作——数据类型是针对矩阵元素）
2.向量和标量可以看作特殊的矩阵
3.没有布尔类型，但是以非0表示真，0表示假
4.一般情况下矩阵的元素是相同的数据类型，但是也有将不同类型的数据构成矩阵的元素的数据结构——特殊的矩阵——结构，单元矩阵
变量：对象的引用，代表若干内存单元，通过变量名来对变量所引用的对象进行访问
1.命名规则： 字母开头，后接字母、下划线或数字
2.预定义变量
系统本身定义的变量，尽量避免对这些变量赋值，会覆盖原来的含义
ans——计算结果默认赋值变量
eps——机器零阈值
pi——π的近似值
i，j——虚数单位
inf，Inf——无穷大
NaN,nan——非数，如0/0,inf/inf
nargin——函数输入参数个数
nargout——函数输出参数个数
3.变量管理
命令行窗口：
内存变量的显示——who， whos（内容更详细）
内存变量的删除——clear， clear 变量名列表 （多个之间用空格隔开）
工作区窗口：编辑或删除
4.内存变量文件
利用MAT文件可以把当前MATLAB工作空间中的变量保留下来
MAT文件是一种二进制格式文件，文件后缀.mat
变量写入文件与导入matlab通过save和load命令：
save 文件名 [变量名列表]
load 文件名 [变量名列表]
当然可以通过主窗口的界面操作进行保存与导入
注：
1.文件名不需要加引号，不需要带文件后缀.mat，可以带路径
2.变量名列表中变量的个数不限，省略则默认写入/导入所有的变量，多个变量名之间用空格隔开
3.load 是覆盖的写入，要想追加，则加上 空格-append
5.数据的输出格式
数据的表示常用：日常记数法和科学记数法 1e2——10^2, e,E表示10为底的指数
数据的输出格式靠format命令来设置
format 格式符
格式符常见：short（默认的） long rat（近似有理数）
注意：
1.short输出带4位小数，不超过7位有效数字，
大于1000带小数（非0）的实数用5位有效数字的科学记数法
2.如果输出的矩阵（标量是特殊的矩阵）的每个元素数值是整的，则以不带小数的纯整数格式显示
有一个不是，都是默认小数形式输出
3.每个数据元素的表示和存储都是双精度，format只影响数据的显示，不影响数据的存储
介于MATLAB处理的基本对象是矩阵数据结构，即以矩阵为基本处理单元，我们重点讨论矩阵。
1.矩阵的建立
直接输入——[]括起来，同一行元素用空格或逗号隔开，不同行用分号隔开，注意合法性
M文件建立——M文件编辑，命令行输入文件名创建变量
2.冒号表达式
产生向量[ … ]（特殊的矩阵）
start：step：end
省略步长，默认=1
linspace(start,end,number)与 start:(end-start)/number:end等价
3.矩阵的拆分
a、 下标（subscript）和序号（index）——按列编号
下标和序号之间可以转换——sub2ind，ind2sub
index=sub2ind（size(A），i，j）
[i,j]=ind2sub(size(A),index)
参数可以是矩阵，两个矩阵代表下标方式，一个矩阵代表序号方式
注意： 当索引大于原来矩阵的行数/列数/总编号,MATLAB会自动拓展矩阵，并且拓展后未赋值的矩阵元素置为0
A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> A([2,4])
ans =
4 2
>> A([1;2])
ans =
1
4
>> A([1,3],[1,3])
ans =
1 3
7 9
>> A([1;3],[1;3])
ans =
1 3
7 9
b、冒号表达式
A（：，j）——第j列
A（i：i+m，：）——第i到i+m行
A（i：i+m，j：j+n）——i到i+m行j到j+n列交叉的部分
A（：）将矩阵的元素按列叠成一个列向量
end运算符可以表示某一维的末尾
c、利用空矩阵删除矩阵元素
单引号或双引号括起来的字符序列，MATLAB将字符串当作一个行向量，每个元素对应一个字符
相关函数：
1.eval(s) %s为字符串，表示将字符串的内容当作MATLAB语句来执行
>> A
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> y='sin(A).*2+cos(A)'
y =
'sin(A).*2+cos(A)'
>> eval(y)
ans =
2.2232 1.4024 -0.7078
-2.1672 -1.6342 0.4013
2.0679 1.8332 -0.0869
注意： MATLAB中字符串的拼接不能使用+，但是由于MATLAB按ASCII码存储字符串，
所以字符串可以进行算术运算
>> 'adkj'+2
ans =
99 102 109 108
>> 'wy'*2
ans =
238 242
>> 'wy'^2
错误使用 ^ (line 51)
用于对矩阵求幂的维度不正确。请检查并确保矩阵为方阵并且幂为标量。要执行按元素矩阵求幂，请使用 '.^'。
>> ['wy';'wy']^2
ans =
28560 29040
28560 29040
>> 'wy'.^2
ans =
14161 14641
2.strcat用于字符串的拼接，
strcat(s1,s2)
3.字符串类型与其他类型的转换函数
int2str
num2str
mat2str
setstr——将ASCII码值转换为对应字符
str2num
>> a=str2num('ad')
a =
[]
>> str2num('a')
ans =
[]
>> help str2num
str2num - 将字符数组转换为数值数组
此 MATLAB 函数 将字符数组或字符串标量转换为数值矩阵。输入可以包含空格、逗号和分号，以指示单独的元素。如果 str2num
不能将输入解析为数值，则返回空矩阵。
X = str2num(chr)
[X,tf] = str2num(chr)
另请参阅 cast, char, hex2num, num2str, sscanf, str2double
str2num 的参考页
名为 str2num 的其他函数
>> num2str(1)
ans =
'1'
>> int2str(20)
ans =
'20'
>> mat2str(A)
ans =
'[1 2 3;4 5 6;7 8 9]'
>> str2num('23')
ans =
23
>> str2num('[1,2]')
ans =
1 2
>> str2mat('2')
ans =
'2'
>> help str2mat
str2mat - （不推荐）基于字符串构建用空白进行填补的字符数组
此 MATLAB 函数 构成字符数组 S，其中包含字符数组 T1, T2, T3, ...
S = str2mat(T1, T2, T3, ...)
4.strcmp - 比较字符串
此 MATLAB 函数 比较 s1 和 s2，如果二者相同，则返回 1 (true)，否则返回 0
(false)。如果文本的大小和内容相同，则它们将视为相等。返回结果 tf 的数据类型为 logical。
tf = strcmp(s1,s2)
>> strcmp('c','c')
ans =
logical
1
>> strcmp('a','c')
ans =
logical
0
>> strcmp('c','a')
ans =
logical
0
1.算术运算+、-、*、/、\、%、^
注意： 这些算术运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一个特例
±运算规则：矩阵维数一致，对应元素±，否则出错，但是标量和矩阵可以进行运算，矩阵的每个元素和标量均进行±
乘运算规则：矩阵要可乘的，遵循矩阵乘法规则，矩阵和标量可乘，矩阵的每个元素均和标量相乘
/、\规则：
B
除
A
：
A
/
B
=
A
∗
i
n
v
（
B
）
，
A
B
=
i
n
v
（
A
）
∗
B
B除A：A/B=A*inv（B），A\ B=inv（A）*B
B除A：A/B=A∗inv（B），A B=inv（A）∗B，注意除数与被除数
标量可同时为除数与被除数，单独为除数，但不能单独为被除数
^规则：A ^x,要求A为方阵（标量为特例），x为标量
点运算：
.* ， .\， ./， .^
矩阵的点运算，如果矩阵维数一样，则对应元素进行运算
当有标量时，标量和矩阵的每个元素进行运算
尤其乘方：
A ^x , A . ^B , A. ^x, x . ^A
A,B表示矩阵（标量，向量是特例），x为标量
当A,B不是标量时A，B需至少有一维相同，矩阵则对应元素乘方
向量与矩阵.^时，行向量时矩阵每行均与行向量对应元素乘方，列向量时，矩阵每列均与列向量对应元素乘方
>> A
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> A^2
ans =
30 36 42
66 81 96
102 126 150
>> A.^2
ans =
1 4 9
16 25 36
49 64 81
>> A.^A
ans =
1 4 27
256 3125 46656
823543 16777216 387420489
>> 2.^A
ans =
2 4 8
16 32 64
128 256 512
>> A.^[1,2,3]
ans =
1 4 27
4 25 216
7 64 729
>> A.^[1;2;3]
ans =
1 2 3
16 25 36
343 512 729
>> A.^[1,2]
错误使用 .^
矩阵维度必须一致。
>> [1,2,3].^A
ans =
1 4 27
1 32 729
1 256 19683
>> [1;2;3].^A
ans =
1 1 1
16 32 64
2187 6561 19683
2.关系运算
<,>,=,~=，≤，≥
规则：
比较量为标量时，直接比较大小，成立返回1，否则返回0；
为同维度矩阵时，对应元素进行关系运算；
标量与矩阵则标量与矩阵的每个元素进行关系运算
3.逻辑运算
&,|,~
（&&，||只用于标量）
运算规则同关系元素类似
优先级（大体上）：~单目运算符>算术运算符>关系运算符>逻辑运算符
注意：
1.涉及矩阵的运算且要的是对应元素进行运算时要注意使用点运算，尤其是和函数一起时不要忘记了
2.可以巧妙运用关系运算和逻辑元素对函数值进行分段处理
MATLAB提供的函数自变量规定为矩阵，然而运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算结果是一个与自变量同维的矩阵
sin，cos，tan，sinh，cosh，tanh
asin，acos，atan，asinh，acosh，atanh
sqrt
log——自然对数函数
log10——常用对数函数
log2——以2为底的对数函数
log_M(N)=log(M)/log(N)=log10(M)/log10(N)
exp
pow2
abs
rem，mod（模运算）
fix，round，ceil，floor（取整）
angle,real,imag,conj(复数共轭元素conjugate）
sign（符号函数）
gcd（最大公因子）
lcm（最小公倍数）
xor(异或)
find（返回非零元素的位置，给定两个接受变量得到下标索引，不给定或者给一个得到序号索引）
all 若向量的所有元素非零，则返回1（参数为矩阵的话，以列向量作为一个向量处理，返回结果是针对每列向量的一个横向量，可以指定维数转为行向量）
abs：可以求实数的绝对值，复数的模，字符串的ASCII
fix，round，ceil，floor：fix直接去掉小数部分，round四舍五入，ceil向上取整，floor向下取整
rem，mod区别在涉及负数时不一样
rem(x,y)=x-y.*fix(x./y)
mod=x-y.*floor(x./y)
size(A)——返回矩阵的行数和列数
length(A)——=max（size（A））
ndims（A）——给出A的维数
reshape（A，m，n）——在保持总元素个数不变的情况，对矩阵进行重排
>>help ndims
ndims - 数组维度数目
此 MATLAB 函数 返回数组 A 的维数。维数总是大于等于 2。函数会忽略 size(A,dim) = 1 所针对的尾部单一维度。
N = ndims(A)
1.特殊矩阵
a、通用的特殊矩阵：zeros，ones，eye，rand（产生0~1间均匀分布的随机矩阵），randn（产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵）
以上函数的调用格式相差无几，以zeros为例
zeros（m）——mxm矩阵
zeros(m,n)——mxn矩阵
zeros（size（A））——和矩阵A同大小的矩阵
建立随机矩阵：
[a,b]均匀分布的n阶随机矩阵： r a n d ( n ) ∗ ( b − a ) + a rand(n)*(b-a)+a rand(n)∗(b−a)+a
均值为μ，方差为 σ 2 \sigma^2 σ2的n阶正态分布的随机矩阵： μ + σ ∗ r a n d n ( 5 ) μ+\sigma*randn(5) μ+σ∗randn(5)
.
例子：
在[20,50]均匀分布的5阶随机矩阵： r a n d ( 5 ) ∗ 30 + 20 rand(5)*30+20 rand(5)∗30+20
均值为0.6方差为0.1的5阶正态分布的随机矩阵： 0.6 + s q r t ( 0.1 ) ∗ r a n d n ( 5 ) 0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 0.6+sqrt(0.1)∗randn(5)
b、用于专门学科的特殊矩阵
1）魔方矩阵magic(n) ——n≥3
每行每列及对角线上的元素之和相等
2）范德蒙德矩阵
vander（V）生成以向量V为基础的范德蒙德矩阵
3）希尔比特矩阵
hilb(n)
矩阵元素：h_ij=1/(i+j-1)
希尔伯特矩阵是一个条件数很差的矩阵
4）帕斯卡矩阵pascal(n)
有杨辉三角组成的矩阵——副对角线元素为(x+y)^n的展开式的系数（最高次系数为向量第一分量）
5）多项式的伴随矩阵
compan（p）——p为多项式的系数（）
2.矩阵的结构变换
a、对角阵与三角阵
对角阵——除对角元素外的元素均为0，当对角元素相等时称为数量矩阵，特殊地，当对角线元素均为1时为单位矩阵
——提取矩阵对角线元素：
diag（A）提取主对角线元素，产生一个min（m，n）的列向量
diag（A，k）提取第k条对角线元素 ，k=0时为主对角线
——构造对角阵
diag（V）产生以V为主对角线元素的矩阵
diag(V,k)产生以V为第k条对角线的矩阵
三角阵——上三角（upper triangle），下三角（lower triangle）
triu（A） 提取A的上三角元素构成上三角矩阵
triu（A，k） 提取A的第k条及以上的元素构成上三角
tril（A），tril(A,k) 下三角
b、转置，旋转与翻转
1）转置
A’ ——当A为复数矩阵时A’既实现了转置也实现了共轭，A.'只实现转置
transpose(A) - 转置向量或矩阵，此 MATLAB 函数 返回 A 的非共轭转置，
2）旋转
rot90（A，k）将矩阵逆时针旋转90°的k倍，k=1时可省略k
3）翻转
左右——fliplr(A)
上下——flipud（A）
c、矩阵正交化
将A的列向量组正交化存入Q：Q=orth(A)，则Q’Q=I
d、LU分解
[L,U]=lu(A) %L为下三角阵或其变换形式，U为上三角阵，LU=A
[L,U,P]=lu(A) %LU=PA
3.矩阵求值
1）矩阵求逆
A^(-1)——inv（A）
当A不是方阵或者A非满秩时，A不存在逆，但是若能找到与A的转置同型的矩阵B，满足ABA=A, BAB=B，则称B为A的伪逆，也称广义逆矩阵，求伪逆pinv(A)
注意：存在逆时，矩阵的逆与伪逆一般不相等
求逆的方式解线性方程组
Ax=b
x=A\b=inv(A)*b
2)行列式
方阵A的行列式|A|——det（A）
行列式|A|等于矩阵A的特征值之积
3）秩（奇异值）——rank（A）
4）迹—— trace（A）=矩阵的对角元素之和=矩阵的特征值之和（特征方程得）
5）特征值与特征向量eigenvalue ——eig（A）
eig（A），e=eig（A）——得到A的特征值构成的列向量 [P,E]=eig(A)——A的特征向量构成P的列向量，特征值构成对角阵E
[P,E]=eig(A,‘nobalance’)——上一个为先对A进行相似变换，这个没有进行相似变换直接求特征值与特征向量
>> A
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> trace(A)
ans =
15
>> eig(A)
ans =
16.1168
-1.1168
-0.0000
>> sum(eig(A))
ans =
15.0000
6）向量和矩阵范数——用来度量向量在某种意义下的长度
a、向量的范数
2-范数——每个分量的平方和开方
1-范数——每个分量的绝对值之和
∞-范数——分量的绝对值取最大值
n=norm(A)——2-范数，欧几里得范数
n=norm(A,inf)——∞范数
n=norm(A,-inf)——求向量元素的绝对值最小值
n=norm(A,1)——1范数,向量元素的绝对值之和n=norm(A,p)——p范数,norm(A,2)=norm(A)
x=[1,2,6,3,2];
>> n1=norm(x,1)
n1 =
14
>> n2=norm(x)
n2 =
7.3485
>> ninf=norm(x,inf)
ninf =
6
b、矩阵的范数
||A||=max ||Av||,||v||=1 这样定义的范数称为从属于向量的范数
||A||_1= 每列元素的绝对值之和中取最大值
||A||_∞=每行元素的绝对值之和中取最大值
||A||_2=sqrt（λ），λ为A’A的最大特征值
||A||_F=矩阵元素的平方和开方
norm(A)=norm(A,2)——2范数
norm(A,inf)——∞范数
norm(A,1)——1范数
norm(A,‘fro’)——F范数
>> A=[1 3 2;6 5 0;7 1 5];
>> n2=norm(A)
n2 =
11.0975
>> n1=norm(A,1)
n1 =
14
>> ninf=norm(A,inf)
ninf =
13
>> nF=norm(A,'fro')
nF =
12.2474
7）矩阵的条件数
cond_p（A）=||A||_p·||A^(-1)||_p
条件数总是大于1的，越接近1则矩阵的性能越好，反之越差
性能Ax=b，系数矩阵A的个别元素的微小扰动会引起解的很大变化——A为病态矩阵，不会引起——良性矩阵.良性与病态是相对的，条件数就是用来刻画矩阵这种性能
cond(A)——求cond_2(A)
cond(A,p)——求cond_p(A)
1.M文件
————由MATLAB命令组成
根据调用方式的不同分为两类：命令文件（脚本文件）；函数文件，拓展名均为.m，但是区别在于
1）命令文件没有输入参数也没有输出参数，而函数文件可以带输入和输出参数；
2）命令文件对MATLAB工作空间的变量进行操作，执行结束后变量还在，而函数文件中定义的变量是局部变量，执行完毕后这些变量会被清除
3）命令文件输入文件名可以直接运行，但是函数文件不能直接运行，需要使用调用的方式
2.程序控制结构
顺序结构
数据输入 x=input（提示信息）
数据的输出 disp
选择结构
if end
if else end
if elseif else end
switch 表达式
case 表达式1 语句1（语句组）
case 表达式2 语句2
…
otherwise
语句n
end
注意：
switch语句和C语言的区别较大switch后的表达式为一个字符串或者标量，case后的表达式还可以是单元矩阵，单元矩阵时，switch表达式的值等于单元矩阵某个元素时，就执行该对应case语句。执行完毕与switch后的表达式匹配的case 后的语句，则进入switch语句后面的语句
try 语句组1
catch 语句组2
end
%当语句组1中出现问题则转去执行语句组2
循环结构
for i=1:1:10 语句 end
while 语句 end
注意：在for循环体里面改变循环变量对最终的结果没有影响，因为在i=1:1:10中会被重新赋值
clear
clc
s=0;
for i=1:100
s=s+i^2;
end
s % 338350
clear
clc
s=0;
for i=1:100
s=s+i^2;
i=i+5;
end
s % 338350
3.函数
[x,y]=f(m,n)
函数调用f(a,b)
注意：
1.函数名应该和文件名一致，否则调用时以文件名为准
2.函数参数的可调性
函数所传入参数的数目是可调的，matlab预定义变量nargin和nargout分别记录调用该参数时的输入实参和输出实参个数，我们可以根据这两个变量来决定函数进行不同的处理
3.全局变量 global 变量名 （不推荐使用）
在科学研究和工程应用中，除了大量的数值计算外，还有对符号对象进行的运算，即直接对抽象的符号对象进行计算，并将得到的结果以标准的符号形式来表示。符号计算可以获得比数值计算更一般的结果。
matlab提供了一种符号数据类型，相应的运算对象称为符号对象。在进行符号运算之前要先建立符号对象，然后才可以进行符号对象的运算。
符号对象的创建
——sym函数与syms命令
%建立符号变量与符号常量
%sym函数
>> x=sym('x') %定义符号变量
x =
x
>> k=sym('8') %定义符号常量
k =
8
>> x+k
ans =
x + 8
>> whos
Name Size Bytes Class Attributes
ans 1x1 8 sym
k 1x1 8 sym
x 1x1 8 sym
%syms命令——sym函数一次只能定义一个符号变量，使用syms命令一次可以定义多个符号变量，格式 syms a b c d...
>> syms x y z
>> whos
Name Size Bytes Class Attributes
x 1x1 8 sym
y 1x1 8 sym
z 1x1 8 sym
含有符号对象的表达式为符号表达式，符号对象的四则运算和数值运算一样。
符号表达式的化简
simplify（s) %s为符号表达式
符号对象的替换
y1=subs(y,x1) %用x1替换y中的默认变量
y1=subs(y,x,x1) %用x1替换y中的变量x
x是符号对象，x1可以是符号对象也可以是数值变量或表达式
>> syms x y
>> y=cos(x)
y =
cos(x)
>> syms z
>> y1=subs(y,z)
y1 =
cos(z)
>> y2=subs(y,x,2)
y2 =
cos(2)
>> plot(2,y2,'r*')
>> t=linspace(0,2*pi,100);
>> e=subs(y,t);
>> plot(t,e)
符号函数
符号对象在微积分中应用很多，常见的符号函数有求极限limit，求导diff，求积分int，求级数symsum，求泰勒级数——taylor，代数方程/方程组solve。
详见matlab微积分应用篇