用MATLAB计算常规矩阵函数 eAt sinA

2023-05-16

矩阵指数

计算和比较 A 的指数和 A 的矩阵指数。

A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1];
exp(A)
ans = 3×3

    2.7183    2.7183    1.0000
    1.0000    1.0000    7.3891
    1.0000    1.0000    0.3679

expm(A)
ans = 3×3

    2.7183    1.7183    1.0862
         0    1.0000    1.2642
         0         0    0.3679

请注意，两种结果的对角线元素相等，这对于任何三角矩阵都是如此。非对角线元素（包括对角线下方的元素）则不相同。

funm

计算常规矩阵函数

语法

F = funm(A,fun) F = funm(A,fun,options) F = funm(A,fun,options,p1,p2,...) [F,exitflag] = funm(...) [F,exitflag,output] = funm(...)

说明

F = funm(A,fun) 计算在方阵参数为 A 时用户定义的函数 fun。F = fun(x,k) 必须接受向量 x 和整数 k，返回大小相同的 x 的向量 f，其中 f(i) 是在 x(i) 条件下计算的函数 fun 的第 k 个导数。fun 表示的函数必须包含具有无限收敛半径的泰勒级数，被视为特殊情况的 fun = @log 除外。

您也可以使用 funm 计算下表中列出的特殊函数在 A 处的值。

函数	计算矩阵 A 处的函数的语法
`exp`	`funm(A, @exp)`
`log`	`funm(A, @log)`
`sin`	`funm(A, @sin)`
`cos`	`funm(A, @cos)`
`sinh`	`funm(A, @sinh)`
`cosh`	`funm(A, @cosh)`

对于方阵根，请改用 sqrtm(A)。对于矩阵指数，expm(A) 和 funm(A, @exp) 哪一个更准确取决于矩阵 A。

fun 表示的函数必须包含具有无限收敛半径的泰勒级数。例外是被视为特殊情况的 @log。参数化函数解释如何在必要情况下向函数 fun 提供其他参数。

F = funm(A,fun,options) 将算法的参数设置为结构体 options 中的值。

下表列出了 options 的字段。

字段	说明	值
`options.Display`	显示级别	`'off'`（默认值）、`'on'`、`'verbose'`
`options.TolBlk`	阻止 Schur 表的容差	正标量。默认值为 `0.1`。
`options.TolTay`	计算对角线块的泰勒级数的终止容差	正标量。默认值为 `eps`。
`options.MaxTerms`	泰勒级数项的最大数目	正整数。默认值为 `250`。
`options.MaxSqrt`	计算对数时，逆缩放和二乘法中计算的最大平方根数。	正整数。默认值为 `100`。
`options.Ord`	指定 Schur 表 `T` 的排序方式。	长度为 `length(A)` 的向量。`options.Ord(i)` 是 `T(i,i)` 所放置到的块的索引。默认值为 `[]`。

F = funm(A,fun,options,p1,p2,...) 向函数传递额外的输入 p1,p2,...。

[F,exitflag] = funm(...) 返回用于描述 funm 的退出条件的 exitflag。exitflag 可以具有下列值：

0 - 算法成功。
1 - 一次或多次泰勒级数计算未收敛，在使用对数的情况下，需要的平方根太多。但是，F 的计算值可能仍然正确。

[F,exitflag,output] = funm(...) 返回包含以下字段的结构体 output：

字段	说明
`output.terms`	一个向量，其中 `output.terms(i)` 是在计算第 i 个块时所使用的泰勒级数的项数，或者在使用对数的情况下，维度大于 2 的矩阵的平方根数。
`output.ind`	重新排序的 Schur 因子 `T` 的 `(i,j)` 块为 `T(output.ind{i}, output.ind{j})` 的元胞数组。
`output.ord`	传递到 `ordschur` 时对 Schur 表排序
`output.T`	重新排序的 Schur 表

如果 Schur 表为对角线，则 output = struct('terms',ones(n,1),'ind',{1:n})。

示例

示例 1

以下命令计算 3×3 幻方矩阵的矩阵正弦值。


F=funm(magic(3), @sin)

F =

   -0.3850    1.0191    0.0162
    0.6179    0.2168   -0.1844
    0.4173   -0.5856    0.8185

示例 2

以下语句


S = funm(X,@sin);
C = funm(X,@cos);

在舍入误差内生成与下面相同的结果


E = expm(i*X);
C = real(E);
S = imag(E);

在任一情况下，结果都满足 S*S+C*C = I，其中 I = eye(size(X))。

示例 3

要使用一个对 funm 的调用计算函数 exp(x) + cos(x) 在 A 处的值，请使用


F = funm(A,@fun_expcos)

其中 fun_expcos 是以下函数。


function f = fun_expcos(x, k)
% Return kth derivative of exp + cos at X.
        g = mod(ceil(k/2),2);
        if mod(k,2)
           f = exp(x) + sin(x)*(-1)^g;
        else
           f = exp(x) + cos(x)*(-1)^g;
        end

$A=\bigl(\begin{smallmatrix} 2&1 & -1\\ 1& 3 &-1 \\ 1& 2& 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ 求 $_e{At},_e{A},sin{A}$

A=[2 1 -1
    1 3 -1
    1 2 0];
A = sym(A);
syms t;
expm(A.*t)
expm(A)
funm(A, @exp)

和答案一样

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