调用格式 ztest
[h,p,muci,zval]=ztest(x,mu0,Sigma,Alpha,Tail)
x: 是输入的观测向量
mu0 ：假设的均值
Sigma ：总体标准差
Alpha ：显著性水平，默认 0.05
Tail ：尾部类型变量 ,‘both’ 双侧检验（默认）， u 不等于 uo ； ‘right’ 右侧检验， u>u0; ‘left’ 左侧检验 ,u<u0 ；
返回值：
h ：假设的结果（ 0,1 ）， h=0 时，接受假设 H0 ； h=1, 拒绝假设 H0
p ：检验的 p 值， p>Alpha 时，接受原假设 H0 ； p<=Alpha 时，拒绝原假设 H0.
muci ：总体均值 u 的置信水平为 1-Alpha 的置信区间
zval ：检验统计量的观测值
x=[97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103];
mu0=100; % 原假设中的 mu0
sigma=2; % 总体标准差
Alpha=0.05; % 显著性水平
% 调用 ztest 函数做总体均值的双侧检验（默认） ,
% 返回变量 h ，检验的 p 值，均值的置信区间 muci ，检验统计量的观测值 zval
[h,p,muci,zval]=ztest(x,mu0,sigma,Alpha)
h =
1
p =
0.0282
muci =
100.1212 102.1455
zval =
2.1947
由 ztest 函数返回值可以看到， h=1 ，且 p=0.0282<0.05 ，所以在显著性水平 =0.05 下拒绝的原假设 H0:u=u0=100 ，因此认为该切割机不能正常工作，同时还返回了总体均值的置信水平为 95% （ 1-0.05 ）的置信区间为 [100.1212 102.1455] 。
例：
化肥厂用自动包装机包装化肥，某日测得 9 包化肥的质量如下：
49.4 50.5 50.7 51.7 49.8 47.9 49.2 51.4 48.9
设每包化肥的质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为 50 ？取显著性水平 a=0.05 。
分析：这是总体标准差未知时的单个正态总体均值的检验，根据题目要求可以写出如下假设：
H0 ： u=u0=50 ， H1 ： u/=u0(u 不等于 u0)
MATLAB 统计工具箱中提供了 ttest 函数 用来做总体标准差未知时的正态总体均值的检验，调用格式和 ztest 类似，返回值有点不同
[h,p,muci,stats]=ttest(x,mu0,Alpha,Tail)
输入参数中没有标准差，其它都一样
返回值 stats 是一个结构体变量，包括 t 检验统计量的观测值，自由度，和样本的标准差； 其它都一样
% 定义样本观测值向量
x=[49.9 50.5 50.7 51.7 49.8 47.9 49.2 51.4 48.9];
mu0=50; % 原假设中的均值 u0=50
Alpha=0.05; % 显著性水平 alpha
% 调用 ttest 函数做总体均值的双侧检验
% 返回变量 h ，检验值 p ，均值的置信空间 muci ，结构体变量 stats
[h,p,muci,stats]=ttest(x,mu0,Alpha)
h =
0
p =
1.0000
muci =
49.0625 50.9375
stats =
tstat: -1.7478e-14
df: 8
sd: 1.2196
由于返回值 h=0 ， p=1>0.05, 所以在显著性水平 =0.05 下接受原假设 H0 ： u=u0=50 ，认为每包化肥的平均质量为 50 ，并且总体均值 u 的置信水平为 95% 的置信区间为 [49.0625 50.9375]
例：
甲、乙两台机床加工同一种产品，从这两台机床加工的产品中随机抽取若干件，测得产品直径为：
甲机床： 20.1,20.0,19.3,20.6,20.2,19.9,20.0,19.9,19.1,19.9
乙机床： 18.6, 19.1,20.0,20.0,20.0,19.7,19.9,19.6,20.2
设甲、乙两机床加工的产品的直径分布服从正态分布 N （ u1 ， a1^2 ）和 N(u2,a2^2) ，试比较甲、乙两台机床加工的产品的直径均值是否有显著性差异，取显著性水平 a=0.05
H0 ： u1=u2 H1:u1/=u2(u1 不等于 u2)
MATLAB 统计工具箱中的 ttest2 函数可以用来做总体标准差未知时的两个正态总体均值的比较检验；
调用格式：
[h,p,muci,stats]=ttest(x,y,Alpha,Tail,vartype)
x ， y 为输入的两个样本观测值
Alpha 为显著性水平
tail 为尾部类型
cartype ：为方差类型，用来指定两总体方差是否相等， ‘equal’ 表示等方差， ‘unequal’ 表示异方差
返回值与 ttest 函数一致， muci 是指均值差的置信空间
% 定义甲机床的样本观测值向量
x=[20.1,20.0,19.3,20.6,20.2,19.9,20.0,19.9,19.1,19.9];
% 定义乙机床的样本观测值向量
y=[18.6, 19.1,20.0,20.0,20.0,19.7,19.9,19.6,20.2];
Alpha=0.05; % 显著性水平
tail='both'; % 尾部类型为双侧
vartype='equal'; % 方差类型为等方差
% 调用 ttest2 函数作两个正态总体均值的比较检验
% 返回变量 h ，检验的 p 值，均值差的置信区间，结构体变量 stats
[h,p,muci,stats]=ttest2(x,y,Alpha,tail,vartype)
h =
0
p =
0.3191
muci =
-0.2346 0.6791
stats =
tstat: 1.0263
df: 17
sd: 0.4713
返回的检验值 p>0.05, 所以在显著性水平 =0.05 下，接受原假设 H0 ： u1=u2 ，认为甲、乙两台机床加工的产品的直径没有显著差异。此时， u1-u2 的置信水平为 95% 的置信区间为 [-0.2346 0.6791]
（两样本不是独立的）
例：
两组（各 10 名）有资质的评酒员分别对 12 种不同的酒进行品评，每个评酒员在品尝后进行评分，然后对每组的每个样品计算其平均分，评分结果如下
样品 1 样本 2 样品 3 样品 4 样品 5 样品 6 样品 7 样品 8 样品 9 样品 10 样品 11 样品 12
第一组 80.3 68.6 72.2 71.5 72.3 70.1 74.6 73.0 58.7 78.6 85.6 78.0
第二组 74.0 71.2 66.3 65.3 66.0 61.6 68.8 72.6 65.7 72.6 77.1 71.5
设两组评酒员的评分分布服从正态分布 N(u1,a1^2) 和 N(u2,a2^2) ，试比较两组评酒员的评分是否有显著差异，取显著性水平 a=0.05
分析：由于每个红酒样本都对应两个评分，显然样本等长，并且两样本不独立，这是配对样本的比较问题，根据题目要求可写出如下的假设：
H0 ： u1=u2 ， H1 ： u1/=u2(u1 不等于 u2)
由于两个样本不独立，通常的做法是将两个样本对应数据最差，把两个正态总体均值的比较检验转化为单个正态总体均值的检验，然后就可用 ttest 函数进行检验
上面的假设改写为如下假设
H0 ： u=u1-u2=0 ， H1 ： u/=0(u 不等于 0)
然后调用 ttest 函作配对样本的比较 t 检验
[h,p,muci,stats]=ttest(x,y,Alpha,Tail)
x ， y 为输入的观测样本观测值向量，其它参数与 ttest 一致
% 样本 1
x=[80.3,68.6,72.2,71.5,72.3,70.1,74.6,73.0,58.7,78.6,85.6,78.0];
% 样本 2
y=[74.0,71.2,66.3,65.3,66.0,61.6,68.8,72.6,65.7,72.6,77.1,71.5];
Alpha=0.05; % 显著性水平
tail='both'; % 尾部类型为双侧
% 调用 ttest 函数作配对样本的比较 t 检验
% 返回变量 h ，检验的 p 值，均值差的置信区间 muci ，结构体变量 stats
[h,p,muci,stats]=ttest(x,y,Alpha,tail)
h =
1
p =
0.0105
muci =
1.2050 7.2617
stats =
tstat: 3.0768
df: 11
sd: 4.7662
返回值 p=0.0105<0.05, 所以在显著性水平 a=0.05 下拒绝原假设 H0:u=u1-u2=0 ，认为两组评酒员的评分有显著差异。此时两总体均值差的置信水平为 95% 的置信区间为
[ 1.2050 7.2617], 该区间不包含 0 ，说明第一组评酒员的评分明显高于第二组评酒员的评分。
化肥厂用自动包装机包装化肥，某日测得 9 包化肥的质量如下：
49.4 50.5 50.7 51.7 49.8 47.9 49.2 51.4 48.9
设每包化肥的质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的质量的方差等于 1.5 ？取显著性水平 a=0.05 。
分析：这是总体均值未知时的单个正态总体方差的检验，根据题目要求可以写出如下假设：
H0 ： a^2=a0^2=1.5, H1:a^2/=a0^2(a^2 不等于 a0^2)
MATLAB 统计工具箱中的 vartest 函数可用来做总体均值未知时的单个正态总体方差的检验
调用格式：
[h,p,varci,stats]=vattest(x,v,alpha,tail)
输出参数
x ：样本观测值向量
v ：原假设中的方差
alpha ：显著性水平
tail ：尾部类型
输出参数
varci 为方差的置信区间，其他都一样
x=[49.9,50.5,50.7,51.7,49.8,47.9,49.2,51.4,48.9];
var0=1.5; % 原假设中的方差
Alpha=0.05; % 显著性水平
tail='both'; % 尾部类型为双侧
% 调用 vartest 函数作单个正态总体方差的双侧检验
% 返回值变量 h ，检验值 p ，方差的置信区间 varci ，结构体变量 stats
[h,p,varci,stats]=vartest(x,var0,Alpha,tail)
h =
0
p =
0.8800
varci =
0.6787 5.4594
stats =
chisqstat: 7.9333 % 卡方检验统计量的观测值
df: 8 % 卡方检验统计量的自由度
返回值 p=0.88>0.05, 所以在显著性水平 a=0.05 下接受原假设 H0 ： a^2=a0^2=1.5, 认为每包化肥的质量的方差等于 1.5 ，此时总体方差 a^2 的置信水平为 95% 的置信区间为 [0.6787 5.4594]
5 总体均值未知时的两个正态总体方差的比较 F 检验
甲、乙两台机床加工同一种产品，从这两台机床加工的产品中随机抽取若干件，测得产品直径为：
甲机床： 20.1,20.0,19.3,20.6,20.2,19.9,20.0,19.9,19.1,19.9
乙机床： 18.6, 19.1,20.0,20.0,20.0,19.7,19.9,19.6,20.2
设甲、乙两机床加工的产品的直径分布服从正态分布 N （ u1 ， a1^2 ）和 N(u2,a2^2) ，试比较甲、乙两台机床加工的产品的直径方差是否有显著性差异，取显著性水平 a=0.05
分析：这是总体均值未知时的两个正态总体方差的比较检验，根据题目要求可写出如下假设：
H0 ： a1^2=a2^2, H1:a1^2/=a2^2(a1^2 不等于 a2^2)'
MATLAB 统计工具箱中的 vartest2 函数 可以用来做总体均值未知时的两个正态总体方差的比较检验
调用格式：
[h,p,varci,stats]=vattest2(x,y,alpha,tail)
输入参数：
x ， y 为样本观测值向量
alpha ：显著性水平
tail ：尾部类型
返回值与 vartest 函数一致，置信区间 varci 是 a1^2/a2^2 的置信区间
% 定义甲机床的样本观测值向量
x=[20.1,20.0,19.3,20.6,20.2,19.9,20.0,19.9,19.1,19.9];
% 定义乙机床的样本观测值向量
y=[18.6, 19.1,20.0,20.0,20.0,19.7,19.9,19.6,20.2];
Alpha=0.05; % 显著性水平
tail='both'; % 尾部类型为双侧
[h,p,varci,stats]=vartest2(x,y,Alpha,tail)
h =
0
p =
0.5798
varci =
0.1567 2.8001
stats =
fstat: 0.6826 %F 检验统计量的观测值
df1: 9 %F 检验统计量的分子自由度
df2: 8 %F 检验统计量的分母自由度
返回的检验的 p 值 p=0.5789>0.05 ，所以在显著性水平 a=0.05 下接受原假设 H0 ： a1^2=a2^2 ，认为甲乙两台机床加工产品的直径的方差相等。此时 a1^2/a2^2 的置信水平为 95% 的置信区间为 [ 0.1567 2.8001]6 检验功效与样本容量的计算
（ 1 ）假设检验的两类错误
假设检验可能会犯两类错误：第一类错误是本来原假设 H0 正确，却由于抽样的原因拒绝了 H0 ，这类错误又称之为 “ 拒真 ” 错误，犯第一类错误的概率记为 a ；第二类错误是本来 H0 不正确，却由于抽样的原因接受了 H0 ，这类错误又称为 “ 取伪 ” 错误，犯第二类错误的概率记为 b ，假设检验需要控制犯两类错误的概率均在一个较低的水平，而实际上在样本容量固定的前提下，降低 a 的同时会增加 b ，，降低 b 的同时 a 也会增加，为了平衡这一矛盾，提出了显著性检验的概念，也就是在控制犯第一类错误的概率不超过某一水平（即显著性水平）的前提下去制约 b 。
（ 2 ）检验功效与样本容量的关系
原假设不成立的条件下，拒绝原假设的概率（即 1-b ）称为检验的功效，它反映了一个显著性检验能够区分原假设和备择假设的能力，通常情况下，应使得检验功效达到一个较高的水平（例如 90% 以上）。
当给定样本容量时可以求得检验功效，样本容量越大，检验功效越高，即区分原假设与备择假设的能力越强；反之，给定检验功效，也可求出样本容量
（ 3 ） 调用 sampsizepwr 函数求样本容量和检验功效
MATLAB 统计工具箱中提供了 sampsizepwr 函数，用来求样本容量和检验功效，其调用格式如下：
<1> n=sampsizepwr(testtype,p0,p1)
对于不同类型的双侧检验，在显著性水平 0.05 下，求使得检验功效不低于 90% 的最小的样本容量 n 。输入参数 p0 和 p1 分别用来指定原假设和备择假设中的参数值， testtype 用来指定检验类型，是字符串变量，其取值如下表
<2>n=sampsizepwr （ testtype ， p0 ， p1 ， power ）
求样本容量，用 power 参数指定参数功效，其值介于 0-1 之间
<3>power=sampsizepwr （ testtype ， p0 ， p1 ， [ ],n ）
给定样本容量 n ，求检验功效 power
<4>p1=sampsizepwr （ testtype ， p0 ， [ ] ， power ， n ）
给定样本容量 n 和检验功效 power ，求备择假设中的参数 p1.
<5> [......]=sampsizepwr （ ..... ， n ， param1 ， val1 ， param2 ， val2 ， ...... ）
用可选的成对出现的参数名和参数值控制计算结果，可用的参数名与参数值如下
参数名 参数值及说明
‘alpha’ 检验的显著性水平，取值 0--1 之间，默认值 0.05
‘tail’ 尾部类型变量，用来指定备择假设的形式，
可取值 ‘both’ ， ‘right’ ， ‘left’
例：设需要对某一正态总体的均值进行如下检验：
H0 ： u=100 ， H1 ： u>104
已知总体标准差 a=6.58, 取显著性水平 =0.05 ，同时要求检验功效达到 90% 以上，求所需要的样本容量
调用 sampsizepwr 函数求解
mu0=100; % 原假设对应的总体均值
sigma0=6.58; % 原假设对应的标准差
mu1=104; % 备择假设对应的总体均值
pow=0.9; % 检验功效
% 调用 sampsizepwr 函数求样本容量
n=sampsizepwr('z',[mu0,sigma0],mu1,pow,[],'tail','right')
n =
24
要检验功效达到 90% 以上，需要的样本容量至少为 24 ，如果指定不同的样本容量，还可求得相应的检验功效
n=1:60; % 指定不同的样本容量， 1,2 ， ....60
mu0=100; % 原假设对应的总体均值
sigma0=6.58; % 原假设对应的标准差
mu1=104; % 备择假设对应的总体均值
% 调用 sampsizepwr 函数求不同样本容量对应的检验功效
pow=sampsizepwr('z',[mu0,sigma0],mu1,[],n,'tail','right');
plot(n,pow,'k'); % 绘制检验功效与样本容量关系曲线
xlabel(' 样本容量 ');
ylabel(' 检验功效 ');可知，随着样本容量的增大， 检验功效逐渐趋向于 1.
参考资料：https://wenku.baidu.com/view/e3b59496988fcc22bcd126fff705cc1754275f42.html?fr=search-1-wk_sea_es-income3
%%已知σ2，检验u
%eg140 σ2=0.05 H0:u=u0=100
x=[99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5];
[H,sig,ci]=ztest(x,100,0.5,0.05,0)%已知σ2，检验u
%检验结果 H=0接受假设，H=1拒绝假设
%%
%未知σ2，检验u
%p144
x=[1269,1271,1256,1265,1254];
[H,sig,ci]=ttest(x,1260,0.05,0)
%9
x=[42,65,75,78,59,71,57,68,54,55];
%[h,p,muci,stats]=ttest(x,65,0.05,0)
[h,p,varci,stats]=vartest(x,80,0.05,0)