英文名称: Auto-Encoding Variational Bayes
中文名称: 自编码变分贝叶斯
论文地址: http://arxiv.org/abs/1312.6114
时间: 2013
作者: Diederik P. Kingma, 阿姆斯特丹大学
引用量: 24840
VAE 变分自编码（Variational Autoencoder）是一种生成模型，它结合了自编码器和概率图模型的思想。它的目标是：解决对复杂性高，且量大的数据难以拟合的问题。具体方法是：使用基于变分推理的原理，以变分下界作为目标函数，用梯度方法求取模型参数。
听起来非常抽象，简单地说：变分自编码器是自编码器的改进版。
自编码器通常由编码器和解码器两部分组成，其中编码器将原始数据映射到低维表示，解码器则将低维表示映射回原始数据空间。即：原始数据为x，将其输入编码器降维后，变成数据z，再经过编码器还原成数据 x’。它常用于高维数据的低维表示和从低维表示中生成高维数据。比如：图像去噪，修复图片，生成高分辨率图片等。
变分自编码器在中间加了一层逻辑，它假设中间过程的数据 z 每个维度都是正态分布的，可以使用：均值 μ 和 方差 σ 表示。由此，就变成了变分自编码器：训练编码器和解码器网络，可将图片x分布压缩后再拆分成多个高斯分布的叠加，如上图所示。
使用高斯分布的原因是：每张训练图片的内容都不一样，训练过程中产生的潜空间z也是离散的，不能确定它的分布。比如数据有满月和半月，但无法产生2/3月亮。而高斯分布是连续的，如果能把中间的表征z用正态分布描述，它就是平滑的，理论上就可以产生介于两图之间的内容图片，它具有一定的潜在空间的连续性和插值性质。
可以想见，z的分布相当复杂，不是一个简单的高斯分布可以描述的。图中红色为分布曲线。它可分解为一系列不同频率、不同振幅、不同相位的正弦波。也就是说可以用多个正态分布（高斯分布）的叠加去逼近任意一个分布。可以说 VAE 是对 GMM 方法的改进版。
用于衡量两个分布之间的距离。
似然与概率类似，但有如下区别：给定一个函数
P
(
x
∣
θ
)
P(x|\theta)
P(x∣θ) ，x是样本点，
θ
\theta
θ是参数。
（1）当
θ
\theta
θ 为常量， x为变量时，称 P 为关于 x 的概率函数；
（2）当 x 为常量，
θ
\theta
θ 为变量时，称 P 为关于
θ
\theta
θ 的似然函数；
求解最大似然是指：求使得样本点 x 能够以最大概率发生的
θ
\theta
θ 的取值。
变分 Variational 是通过引入一个简化的参数化分布来近似复杂的后验分布。这个参数化分布被称为变分分布，它属于一种可计算的分布族。通过调整变分分布的参数，使其尽可能接近真实的后验分布，从而实现近似推断。
变分下界（variational lower bound）通常用于衡量变分分布与真实后验分布之间的差异。
E
L
B
O
=
E
[
l
o
g
p
(
x
,
z
)
−
l
o
g
q
(
z
)
]
ELBO = E[log\ p(x, z) - log\ q(z)]
ELBO=E[log p(x,z)−log q(z)]
其中，ELBO 代表变分下界（Evidence Lower BOund），x代表观测数据，z代表未知变量，p(x, z)表示真实的联合分布，q(z)表示变分分布。
有一张图 x（后验分布），想把它映射成 z，假设 z 是混合高斯分布(先验分布)，各维可能描述颜色，材质……，用函数函数 g() 把 x 分解成高斯分布，它的逆过程是用 f() 根据高斯分布还原原始图 x‘ ，最终恢复的图片 x’=f(g(x))，目标是想让 x’-x 值尽量小，就是说：图 x 转成潜空间 z 再转回原始图 x’，图像最好没变化。
综上所述，无论x是什么，通过变换，产生的x’都与x很像，中间过程的 z 还能用高斯参数表示，求这样的函数f和g的神经网络。
蒙特卡洛估计（Monte Carlo estimation）是一种基于随机抽样的统计估计方法，用于计算复杂问题的数值近似解。其基本思想是通过生成大量的随机样本，利用这些样本的统计特性来估计问题的解。
（以下图和公式中的变量含义重新开始定义，不要与上面混淆）
先看一下论文主图，N是数据集，x是真实空间（可观察），z是潜空间（不可观察的连续空间）；实线表示生成模型 pθ(z)pθ(x|z)，虚线表示p的变分近似 qφ(z|x)（也称识别模型），文中使用的方法是用 qφ(z|x) 模拟难以计算的 pθ(z|x)，变分参数 φ 与生成模型参数 θ 一起学习。这里的q可视为编码器，而p视为解码器。
边界似然（Marginal Likelihood）是各观测数据点（每张图片）在给定模型下的概率之和（原图的概率），值越大模型越好，它描述的是图像重建的好不好（重建损失）。
l
o
g
p
θ
(
x
(
1
)
,
⋅
⋅
⋅
,
x
(
N
)
)
=
∑
i
=
1
N
l
o
g
p
θ
(
x
(
i
)
)
log\ p_θ(x^{(1)}, · · · , x^{(N)}) = \sum^N_{i=1} log\ p_θ(x^{(i)})
log pθ(x(1),⋅⋅⋅,x(N))=i=1∑Nlog pθ(x(i))
各数据点的概率：
l
o
g
p
θ
(
x
(
i
)
)
=
D
K
L
(
q
φ
(
z
∣
x
(
i
)
)
∣
∣
p
θ
(
z
∣
x
(
i
)
)
)
+
L
(
θ
,
φ
;
x
(
i
)
)
log\ p_θ(x(i)) = D_{KL}(q_φ(z|x^{(i)})||p_θ(z|x^{(i))}) + L(θ, φ; x^{(i)})
log pθ(x(i))=DKL(qφ(z∣x(i))∣∣pθ(z∣x(i)))+L(θ,φ;x(i))
前半部分 DKL 是z的模拟值和真实后验的 KL 散度，KL 散度一定大于0，后半部分 L 是变分下界（建模的目标）：
log
p
θ
(
x
(
i
)
)
≥
L
(
θ
,
ϕ
;
x
(
i
)
)
=
E
q
ϕ
(
z
∣
x
)
[
−
log
q
ϕ
(
z
∣
x
)
+
log
p
θ
(
x
,
z
)
]
\log p_{\boldsymbol{\theta}}\left(\mathbf{x}^{(i)}\right) \geq \mathcal{L}\left(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\phi} ; \mathbf{x}^{(i)}\right)=\mathbb{E}_{q_{\boldsymbol{\phi}}(\mathbf{z} \mid \mathbf{x})}\left[-\log q_{\boldsymbol{\phi}}(\mathbf{z} \mid \mathbf{x})+\log p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x}, \mathbf{z})\right]
logpθ(x(i))≥L(θ,ϕ;x(i))=Eqϕ(z∣x)[−logqϕ(z∣x)+logpθ(x,z)]
这里的E是期望，右测是变分下界 ELBO 的公式。
通过移项得到了变分下界的目标函数，公式如下：
L
(
θ
,
ϕ
;
x
(
i
)
)
=
−
D
K
L
(
q
ϕ
(
z
∣
x
(
i
)
)
∥
p
θ
(
z
)
)
+
E
q
ϕ
(
z
∣
x
(
i
)
)
[
log
p
θ
(
x
(
i
)
∣
z
)
]
\mathcal{L}\left(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\phi} ; \mathbf{x}^{(i)}\right)=-D_{K L}\left(q_{\boldsymbol{\phi}}\left(\mathbf{z} \mid \mathbf{x}^{(i)}\right) \| p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{z})\right)+\mathbb{E}_{q_{\boldsymbol{\phi}}\left(\mathbf{z} \mid \mathbf{x}^{(i)}\right)}\left[\log p_{\boldsymbol{\theta}}\left(\mathbf{x}^{(i)} \mid \mathbf{z}\right)\right]
L(θ,ϕ;x(i))=−DKL(qϕ(z∣x(i))∥pθ(z))+Eqϕ(z∣x(i))[logpθ(x(i)∣z)]
目标函数是最大化变分下界（Variational Lower Bound）：第一项 KL散度（Kullback-Leibler Divergence）衡量了潜在变量的分布与先验分布之间的差异（z的差异：越小越好），第二项 重建损失（Reconstruction Loss）衡量了重建样本与原始样本之间相似度（x为原图的概率：越大越好），所以整体 L 越大越好。
z 对应的多个高斯分布的均值和方差都不是固定的值，它们通过神经网络计算得来，神经网络的参数通过训练得到。
这里引入了噪声变量e作为辅助变量，来实现 q 的功能。
z
~
=
g
ϕ
(
ϵ
,
x
)
\widetilde{z}=g_\phi(\epsilon,x)
z
=gϕ(ϵ,x)
对某个函数 f(z) 的期望进行蒙特卡洛估计，具体通过采样实现，其minibatch 是从有N个数据点的数据集中，随机抽取M个点：
L
(
θ
,
ϕ
;
X
)
≃
L
~
M
(
θ
,
ϕ
;
X
M
)
=
N
M
∑
i
=
1
M
L
~
(
θ
,
ϕ
;
x
(
i
)
)
\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\phi} ; \mathbf{X}) \simeq \widetilde{\mathcal{L}}^{M}\left(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\phi} ; \mathbf{X}^{M}\right)=\frac{N}{M} \sum_{i=1}^{M} \widetilde{\mathcal{L}}\left(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\phi} ; \mathbf{x}^{(i)}\right)
L(θ,ϕ;X)≃L
M(θ,ϕ;XM)=MNi=1∑ML
(θ,ϕ;x(i))
可以将KL散度看成限制参数φ的正则化项。而重建误差部分：先用函数 gφ(.) 将数据点 x 和随机噪声向量映射到该数据点的近似后验样本z，然后计算 log pθ(x(i)|z(i,l))，等于生成模型下数据点 x(i) 的概率密度，从而计算重建误差。
在变分自编码器的场景中，先验是中心各向同性的多元高斯分布：
log
q
ϕ
(
z
∣
x
(
i
)
)
=
log
N
(
z
;
μ
(
i
)
,
σ
2
(
i
)
I
)
\log q_{\boldsymbol{\phi}}\left(\mathbf{z} \mid \mathbf{x}^{(i)}\right)=\log \mathcal{N}\left(\mathbf{z} ; \boldsymbol{\mu}^{(i)}, \boldsymbol{\sigma}^{2(i)} \mathbf{I}\right)
logqϕ(z∣x(i))=logN(z;μ(i),σ2(i)I)
其中均值和标准差是编码 MLP 的输出。由于是高斯分布：
z
(
i
,
l
)
=
g
ϕ
(
x
(
i
)
,
ϵ
(
l
)
)
=
μ
(
i
)
+
σ
(
i
)
⊙
ϵ
(
l
)
z^{(i,l)} = g_\phi(x^{(i)}, \epsilon^{(l)}) = μ^{(i)} + σ^{(i)} \odot \epsilon^{(l)}
z(i,l)=gϕ(x(i),ϵ(l))=μ(i)+σ(i)⊙ϵ(l)
引入高斯分布的KL散度，最终目标函数是：
