x
11
,
⋯
,
x
1
m
x_{11}, \cdots, x_{1 m}
x11,⋯,x1m
y
11
,
⋯
,
y
1
q
y_{11}, \cdots, y_{1 q}
y11,⋯,y1q
⋮
\vdots
⋮
⋮
\vdots
⋮
⋮
\vdots
⋮
n
x
n
1
,
⋯
,
x
n
m
x_{n1}, \cdots, x_{n m}
xn1,⋯,xnm
y
n
1
,
⋯
,
y
n
q
y_{n1}, \cdots, y_{n q}
yn1,⋯,ynq
设有n个决策单元(DMC),每个决策单元都有 m 种投入和 q 种产出,设
x
i
j
(
i
=
1
,
⋯
,
n
;
j
=
1
,
⋯
,
m
)
x_{i j}(i=1, \cdots, n ; j=1, \cdots, m)
xij(i=1,⋯,n;j=1,⋯,m)表示第i个决策单元的第i种投入量,
y
i
j
(
i
=
1
,
⋯
,
n
;
r
=
1
,
⋯
,
q
)
y_{i j}(i=1, \cdots, n ; r=1, \cdots, q)
yij(i=1,⋯,n;r=1,⋯,q)表示第 j 个决策单元的第 r 种产出量;
v
j
(
j
=
1
,
⋯
,
m
)
v_{j}(j=1, \cdots, m)
vj(j=1,⋯,m)表示第i 种投入的权值,
u
r
(
r
=
1
,
⋯
,
q
)
u_{r}(r=1, \cdots, q)
ur(r=1,⋯,q)表示第 r 种产出的权值;向量
X
i
,
Y
i
(
i
=
1
,
⋯
,
n
)
X_{i}, Y_{i}(i=1, \cdots, n)
Xi,Yi(i=1,⋯,n)分别表示决策单元j的输入和输出向量,则
X
i
=
(
x
i
1
,
⋯
,
x
i
m
)
X_{i}=\left(x_{i 1}, \cdots, x_{i m}\right)
Xi=(xi1,⋯,xim),
Y
i
=
(
y
i
1
,
⋯
,
y
i
q
)
Y_{i}=\left(y_{i 1}, \cdots, y_{i q}\right)
Yi=(yi1,⋯,yiq)。 决策单元 i 的评价效率指数可以使用产出和投入的比例衡量,则第 k 个决策单元的产出投入比为
h
k
=
u
1
y
k
1
+
u
2
y
k
2
+
⋯
+
u
q
y
k
r
v
1
x
k
1
+
v
2
x
k
2
+
⋯
+
v
m
x
k
j
=
u
r
Y
k
T
v
j
X
k
T
h_{k}=\frac{u_{1} y_{k 1}+u_{2} y_{k 2}+\cdots+u_{q} y_{k r}}{v_{1} x_{k 1}+v_{2} x_{k 2}+\cdots+v_{m} x_{k j}}=\frac{ u_{r} Y_{k}^{T}}{ v_{j} X_{k}^{T}}
hk=v1xk1+v2xk2+⋯+vmxkju1yk1+u2yk2+⋯+uqykr=vjXkTurYkT
1.2.1 投入导向的CCR模型
投入导向的CCR模型,是在给定投入的条件下最大化产出。评价决策单元k效率的数学模型为
max
u
Y
k
T
v
X
k
T
\max \frac{u Y_{k}^{T}}{v X_{k}^{T}}
maxvXkTuYkT
s
.
t
.
{
u
r
Y
k
T
v
j
X
k
T
⩽
1
v
j
⩾
0
,
u
r
⩾
0
,
j
=
1
,
⋯
,
m
;
r
=
1
,
⋯
,
q
s.t.\left\{\begin{array}{c}\frac{u_{r} Y_{k}^{T}}{v_{j} X_{k}^{T}} \leqslant 1 \\ v_{j} \geqslant 0, u_{r} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, q\end{array}\right.
s.t.{vjXkTurYkT⩽1vj⩾0,ur⩾0,j=1,⋯,m;r=1,⋯,q 由于该形式是非线性规划,因此将其转化为线性规划形式为
max
u
r
Y
k
T
\max u_{r} Y_{k}^{T}
maxurYkT
s
.
t
.
{
u
r
Y
k
T
−
v
j
X
k
T
⩽
0
v
j
X
k
T
=
1
v
j
⩾
0
,
u
r
⩾
0
,
j
=
1
,
⋯
,
m
;
r
=
1
,
⋯
,
q
s.t. \left\{\begin{array}{c}u_{r} Y_{k}^{T}-v_{j} X_{k}^{T} \leqslant 0 \\ v_{j} X_{k}^{T}=1 \\ v_{j} \geqslant 0, u_{r} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, q\end{array}\right.
s.t.⎩⎨⎧urYkT−vjXkT⩽0vjXkT=1vj⩾0,ur⩾0,j=1,⋯,m;r=1,⋯,q
由于对偶模型的决策变量中包含效率值,因此将上述模型转化为对偶形式为:
min
θ
\min \theta
minθ
s
.
t
.
{
∑
i
=
1
n
λ
i
x
i
j
⩽
θ
x
i
j
∑
i
=
1
n
λ
i
y
i
r
⩽
y
k
r
λ
i
⩾
0
,
j
=
1
,
⋯
,
m
;
r
=
1
,
⋯
,
q
s.t. \left\{\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i j} \leqslant \theta x_{i j} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i r} \leqslant y_{k r} \\ \lambda_{i} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, q\end{array}\right.
s.t.⎩⎨⎧∑i=1nλixij⩽θxij∑i=1nλiyir⩽ykrλi⩾0,j=1,⋯,m;r=1,⋯,q 其中,
k
=
1
,
⋯
,
n
k=1, \cdots, n
k=1,⋯,n 在对偶规划中,
λ
\lambda
λ表示DMU的线性组合系数,参数
θ
\theta
θ即为效率值,其范围在0到1之间。
1.2.2 产出导向的CCR模型
产出导向的CCR模型,是在给定产出条件下最小化投入,其最终的对偶模型如下:
max
ϕ
\max \phi
maxϕ
s
.
t
.
{
∑
i
=
1
n
λ
i
x
i
j
⩽
x
i
j
∑
i
=
1
n
λ
i
y
i
r
⩾
ϕ
y
k
r
λ
i
⩾
0
,
j
=
1
,
⋯
,
m
;
r
=
1
,
⋯
,
q
s.t.\left\{\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i j} \leqslant x_{i j} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i r} \geqslant \phi y_{k r} \\ \lambda_{i} \geqslant 0, j=1, \cdots, m ; r=1, \cdots, q\end{array}\right.
s.t.⎩⎨⎧∑i=1nλixij⩽xij∑i=1nλiyir⩾ϕykrλi⩾0,j=1,⋯,m;r=1,⋯,q 其中,
k
=
1
,
⋯
,
n
k=1, \cdots, n
k=1,⋯,n