非线性控制4——Back Stepping

2023-11-16

1. 基本思想

2. 重要定理

3. 实例仿真——单机械臂稳定控制

3.1 模型建立

以单机械臂控制为例，具有参数不确定性的单机械臂的模型如式（3-1）

$I\ddot{\theta }+\tilde{d}\dot{\theta }+\mu \theta +mglcos\theta =\tau$ (3-1)

式中， $\theta$ 为机械臂的位置； $\dot{\theta }$ 为速度， $\ddot{\theta }$ 为加速度； $\tau$ 为电动机给出的驱动力矩，为控制信号输入； $m$ 为机械臂的质量； $g$ 为重力加速度； $2l$ 为机械臂长度， $I=\frac{4}{3}ml^{2}$ 为转动惯量； $\tilde{d}$ 为黏性摩擦系数； $\mu$ 为弹性摩擦系数。其中， $\tilde{d}$ 和 $\mu$ 为不确定量。

控制目标：使输出 $\theta$ 跟随给定的输入 $\theta_{d}$ ，设 $\theta_{d}$ 是二阶可导的。

将式（3-1）转为为一般形式，便于进行反步计算。设 $x_{1}=\theta,x_{2}=\dot{\theta }$ ，则式（3-1）可写成式（3-2）的形式：

$\left\{\begin{matrix} \dot{x}_{1}=x_{2}\\ \dot{x}_{2}=-\frac{1}{I} \tilde{d} x_{2}-\frac{1}{I} \mu x_{1 }-\frac{1}{I} m g l\cos x_{1}+\frac{1}{I} \tau \end{matrix}\right.$ （3-2）

设计目标： 求控制率 $\tau$ ，使得系统（3-1）的输出 $\theta$ 跟随给定的输入 $\theta_{d}$ 。

3.2 Back Stepping控制器设计

步骤1：令 $e=x_{1}-x_{1d}$ ，则控制目标发生改变，使 $x_{1}\rightarrow x_{1d}$ ，既 $\theta \rightarrow \theta_{d}$ 。

$\dot{e} = \dot{x}_{1}-\dot{x}_{1d}=x_{2}-\dot{x}_{1d}$ （3-3）

此时，我们的目标是让e趋向于0（由式3-2可知，可通过虚拟控制量 $x_{2}$ 实现e趋于0，问题变为确定所期望的 $x_{2}$ 表达式）。这个问题可通过Lyapunov直接法解决，现在的问题是寻找一个Lyapunov函数V(e)，使得V(e)是正定，而dotV(e)是负定，最终得出e趋向于0时，所期望的 $x_{2}$ 表达式。

步骤2：选取合适的Lyapunov函数：

$V_{1}=\frac{1}{2}e^{2}$ （3-4）

则 $\dot{V}_{1}=e\dot{e}=e(x_{2}-\dot{x}_{1d})$ ，因为希望e趋向于0，所以 $\dot{V}_{1}$ 需满足负定条件，则可令 $x_{2}-\dot{x}_{1d}=-k_{1}e(k_{1}> 0)$ ，此时

$\dot{V}_{1}=e\dot{e}=e(x_{2}-\dot{x}_{1d})=-k_{1}e^{2}< 0$ （3-5）

步骤3：通过步骤2中的假设，可确定虚拟控制量 $x_{2}$ 的期望值，既 $x_{2d}=\dot{x}_{1d}-k_{1}e(k_{1}> 0)$ 。现在的任务是进一步设计控制器，通过控制率 $\tau$ 使得当 $t\rightarrow \infty$ 时， $x_{2}\rightarrow x_{2d}$ （从式3-2可知， $x_{2}$ 的值由控制率 $\tau$ ）。

同理，为实现这一目标，可利用Lyapunov直接法，令 $\delta =x_{2}-x_{2d}$ ，则

$\dot{\delta} =\dot{x}_{2}-\dot{x}_{2d} \\=(-\frac{1}{I} \tilde{d} x_{2}-\frac{1}{I} \mu x_{1 }-\frac{1}{I} m g l\cos x_{1}+\frac{1}{I} \tau)-(\ddot{x}_{1d}-k_{1}\dot{e}) \\=(-\frac{1}{I} \tilde{d} x_{2}-\frac{1}{I} \mu x_{1 }-\frac{1}{I} m g l\cos x_{1}+\frac{1}{I} \tau)-(\ddot{x}_{1d}-k_{1}(x_{2}-\dot{x}_{1d}))$ （3-6）

新的目标使得系统稳定，希望 $\delta$ 和 $e$ 都趋向于0，找到一个新的Lyapunov函数 $V(e,\delta )$ 满足正定，同时 $\dot{V}(e,\delta )$ 是负定。

令

$V_{2}=V_{1}+\frac{1}{2}\delta ^{2}$ （3-7）

则 $\dot{V}_{2}=\dot{V}_{1}+\delta \dot{\delta }$ ，此时 $\dot{V}_{1}=e\dot{e}=e(x_{2}-\dot{x}_{1d})=e(\delta +x_{2d}-\dot{x}_{1d})=e\delta -k_{1}e^{2}$ ，将其带入，可得

$\dot{V}_{2}=e\delta -k_{1}e^{2}+\delta \dot{\delta }=-k_{1}e^{2}+\delta (e+\dot{\delta} )$ （3-8）

为保证 $\dot{V}(e,\delta )$ 负定，可令 $e+\dot{\delta}=-k_{2}\delta$ （3-9）

则 $\dot{V}_{2}=-k_{1}e^{2}-k_{2}\delta ^{2}< 0$ ，得证。为确定控制率 $\tau$ ，将（3-6）带入（3-9）可得

$e+(-\frac{1}{I} \tilde{d} x_{2}-\frac{1}{I} \mu x_{1 }-\frac{1}{I} m g l\cos x_{1}+\frac{1}{I} \tau)-(\ddot{x}_{1d}-k_{1}(x_{2}-\dot{x}_{1d}))=-k_{2}\delta$ （3-10）

将（3-10）进行变换可得，最终所要求的控制率 $\tau$ 如下

$\tau=I(\ddot{x}_{1d}-k_{1}(x_{2}-\dot{x}_{1d}))-Ik_{2}\delta-Ie+ (\tilde{d} x_{2}+\mu x_{1 }+mgl\cos x_{1})$ （3-11）

Remark：若 $\tilde{d}$ 和 $\mu$ 为确定的已知参数，则控制器已经设计完毕，但本系统中 $\tilde{d}$ 和 $\mu$ 为不确定量，所以还需进一步确定 $\tilde{d}$ 和 $\mu$ 的取值。为解决此问题，可引入自适应控制，将传统的反步控制与自适应控制结合，形成自适应反步控制。

3.3 自适应Back Stepping控制器设计

由于 $\tilde{d}$ 和 $\mu$ 未知，故在式（3-11）中采用估计值替代实际值，则控制率 $\tau$ 可写成

$\tau=I(\ddot{x}_{1d}-k_{1}(x_{2}-\dot{x}_{1d}))-Ik_{2}\delta-Ie+ (\hat{\tilde{d}} x_{2}+\hat{\mu} x_{1 }+mgl\cos x_{1})$ （3-12）

其中， $\hat{\tilde{d}}$ 为黏性摩擦系数 $\tilde{d}$ 的估计值，计两者之间的误差为 $\vartheta_{1}=\tilde{d}-\hat{\tilde{d}}$ ； $\hat{\mu}$ 为弹性摩擦系数 $\mu$ 的估计值，计两者之间的误差为 $\vartheta_{2}=\mu-\hat{\mu}$ 。

式（3-12）可替代式（3-11）的前提条件为： $\tilde{d}$ 和 $\mu$ 的估计值 $\hat{\tilde{d}}$ 和 $\hat{\mu}$ 趋近于真实值，因此，问题转换为求解 $\tilde{d}$ 和 $\mu$ 的估计值 $\hat{\tilde{d}}$ 和 $\hat{\mu}$ 问题。也就是要确定式（3-12）中 $\hat{\tilde{d}}$ 和 $\hat{\mu}$ 的准确表达式，只有这样控制率 $\tau$ 才算确定。为解决这一问题，需要引入自适应控制，常用的技巧是利用系统的状态或者输出量构造系统的自适应率。具体步骤如下：

步骤1：选取合适的Lyapunov函数

因为要确保每个误差量都能收敛到0，所以构造的Lyapunov函数如下：

$V=\frac{1}{2}e^{2}+\frac{1}{2}\delta^{2}+\frac{1}{2}\vartheta_{1}^{2}+\frac{1}{2}\vartheta_{2}^{2}$ （3-13）

其中， $e=x_{1}-x_{1d}$ ， $\delta =x_{2}-x_{2d}$ ， $\vartheta_{1}=\tilde{d}-\hat{\tilde{d}}$ ， $\vartheta_{2}=\mu-\hat{\mu}$ 。对上式进行求导，得

$\dot{V}=e\dot{e}+\delta \dot{\delta }+\vartheta_{1} \dot{\vartheta_{1}}+\vartheta_{2} \dot{\vartheta_{2}}$ （3-14）

将 $\dot{V}_{1}=e\dot{e}=e(x_{2}-\dot{x}_{1d})=e(\delta +x_{2d}-\dot{x}_{1d})=e\delta -k_{1}e^{2}$

和 $\dot{\delta} =(-\frac{1}{I} \tilde{d} x_{2}-\frac{1}{I} \mu x_{1 }-\frac{1}{I} m g l\cos x_{1}+\frac{1}{I} \tau)-(\ddot{x}_{1d}-k_{1}(x_{2}-\dot{x}_{1d}))$ 带入式（3-14）中，

有

$\dot{V}=e\dot{e}+\delta \dot{\delta }+\vartheta_{1} \dot{\vartheta_{1}}+\vartheta_{2} \dot{\vartheta_{2}} \\= -k_{1}e^{2}+e\delta+\delta ((-\frac{1}{I} \tilde{d} x_{2}-\frac{1}{I} \mu x_{1 }-\frac{1}{I} m g l\cos x_{1}+\frac{1}{I} \tau)-(\ddot{x}_{1d}-k_{1}(x_{2}-\dot{x}_{1d})))+\vartheta_{1} \dot{\vartheta_{1}}+\vartheta_{2} \dot{\vartheta_{2}}$ （3-15）

又因为 $\vartheta_{1}=\tilde{d}-\hat{\tilde{d}}$ ， $\vartheta_{2}=\mu-\hat{\mu}$ ，既有 $\tilde{d}=\vartheta_{1}+\hat{\tilde{d}}$ ， $\mu=\vartheta_{2}+\hat{\mu}$ ，将其带入（3-15）中，有

$\dot{V}= -k_{1}e^{2}+e\delta+\delta ((-\frac{1}{I} (\vartheta_{1}+\hat{\tilde{d}}) x_{2}-\frac{1}{I} (\vartheta_{2}+\hat{\mu}) x_{1 }-\frac{1}{I} m g l\cos x_{1}+\frac{1}{I} \tau)-(\ddot{x}_{1d}-k_{1}(x_{2}-\dot{x}_{1d})))+\vartheta_{1} \dot{\vartheta_{1}}+\vartheta_{2} \dot{\vartheta_{2}}$ （3-16）

又因为 $\tilde{d}$ 和 $\mu$ 虽然未知，但其值固定，所以 $\dot{\vartheta}_{1}=\dot{\hat{\tilde{d}}}$ ， $\dot{\vartheta}_{2}=\dot{\hat{\mu}}$ ，将其带入上式，可得

$\dot{V}= -k_{1}e^{2}+e\delta+\delta ((-\frac{1}{I} \hat{\tilde{d}} x_{2}-\frac{1}{I} \hat{\mu} x_{1 }-\frac{1}{I} m g l\cos x_{1}+\frac{1}{I} \tau)-(\ddot{x}_{1d}-k_{1}(x_{2}-\dot{x}_{1d})))+\delta (-\frac{1}{I} \vartheta_{1}x_{2}-\frac{1}{I} \vartheta_{2}x_{1})+\vartheta_{1} \dot{\hat{\tilde{d}}}+\vartheta_{2} \dot{\hat{\mu}}$

将上式进行整理，可得

$\dot{V}= -k_{1}e^{2}+e\delta+\delta ((-\frac{1}{I} \hat{\tilde{d}} x_{2}-\frac{1}{I} \hat{\mu} x_{1 }-\frac{1}{I} m g l\cos x_{1}+\frac{1}{I} \tau)-(\ddot{x}_{1d}-k_{1}(x_{2}-\dot{x}_{1d})))-\vartheta_{1}(\frac{1}{I}\delta x_{2}+\dot{\hat{\tilde{d}}})-\vartheta_{2}(\frac{1}{I}\delta x_{1}+\dot{\hat{\mu}})$ （3-17）

上式可以看成

$\dot{V}=\dot{V_{2}}-\vartheta_{1}(\frac{1}{I}\delta x_{2}+\dot{\hat{\tilde{d}}})-\vartheta_{2}(\frac{1}{I}\delta x_{1}+\dot{\hat{\mu}})$ （3-18）

由前面分析可知，当 $\tau=I(\ddot{x}_{1d}-k_{1}(x_{2}-\dot{x}_{1d}))-Ik_{2}\delta-Ie+ (\hat{\tilde{d}} x_{2}+\hat{\mu} x_{1 }+mgl\cos x_{1})$ 时， $\dot{V}_{2}<0$ ，所以为了保证 $\dot{V}<0$ ，则可令

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{I}\delta x_{2}+\dot{\hat{\tilde{d}}}=0\\ \frac{1}{I}\delta x_{1}+\dot{\hat{\mu}}=0 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \dot{\hat{\tilde{d}}}=-\frac{1}{I}\delta x_{2}\\ \dot{\hat{\mu}}=-\frac{1}{I}\delta x_{1} \end{matrix}\right.$ （3-19）

最终结果：当

$\tau=I(\ddot{x}_{1d}-k_{1}(x_{2}-\dot{x}_{1d}))-Ik_{2}\delta-Ie+ (\hat{\tilde{d}} x_{2}+\hat{\mu} x_{1 }+mgl\cos x_{1})$ ， $\dot{\hat{\tilde{d}}}=-\frac{1}{I}\delta x_{2}$ ， $\dot{\hat{\mu}}=-\frac{1}{I}\delta x_{1}$ 时，

闭环系统 $e$ 、 $\delta$ 、 $\vartheta_{1}$ ， $\vartheta_{2}$ 均趋于零，系统渐近稳定。

3.4 基于MATLAB的系统仿真

根据上述推导，可搭建如下的simulink仿真图。

图1 仿真结构框图

实验结果如图2和图3所示，其中，图2为期望的位置和实际位置，图3为两者之间的误差。

图2 期望位置与实际位置图3 位置误差

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