洛谷P1011 [NOIP1998 提高组] 车站题解

斐波那契数列

题目描述

火车从始发站（称为第1站）开出，在始发站上车的人数为a，然后到达第2站，在第2站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第2站开出时（即在到达第3站之前）车上的人数保持为a人。从第3站起（包括第3站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第(n−1)站），都满足此规律。现给出的条件是：共有n个车站，始发站上车的人数为a，最后一站下车的人数是m（全部下车）。试问x站开出时车上的人数是多少？
对于全部的测试点，保证1≤ a ≤20，1≤ x ≤n ≤20，1 ≤ m ≤ 2×10⁴。

输入格式

输入只有一行四个整数，分别表示始发站上车人数 a ，车站数 n ，终点站下车人数 m 和所求的站点编号 x 。

5 7 32 4

输出格式

输出一行一个整数表示答案：从 x 站开出时车上的人数。

整体思路

我们不妨先来列一个表格，a 代表始发站人数，t 代表第二站上车人数。

······

我们不难发现，除了“出站时人数”这一列，其他几列都有数据符合斐波那契数列的规律（即第i项等于第i-1项+第i-2项），可以很轻松的用循环求出任意一列的 a , t 系数。

因为数据 n 最大只有20，我们可以把 1～n 站火车出站时的人数都用始发站人数 a 和第2站上车人数 t 表示出来。

蒟个栗子

拿样例来说：

始发站为5人，共有7站，结束时32人下车，求第4站驶出时人数。

（注意：总站数是7站，32人下车，所以第6站驶出时为32人。）

看到上面表格，第6站驶出时人数为 4a+4t ,所以：

4×5+4×t = 32

可以很轻松算出t=3。

再看第4站驶出时人数，为2a+t，所以：

2×5+3 = 13

最终得到的结果就是13。

这样除去数据预处理的时间，该解决方式的时间复杂的只有O(n).

代码实现看这里

#include<iostream>
using namespace std;
int a,n,m,x,t;
int Fibo[25];
struct train{//为了看上去明白就用了结构体，其实用二维数组或两个一维数组就行了
    int a,t;//存储每一站火车出站时人数a和t的系数
}sum[25];
void pre()
{
    Fibo[1]=1;
    Fibo[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)//求斐波那契数列
        Fibo[i]=Fibo[i-1]+Fibo[i-2];
    sum[1].a=1;//根据表格初始化值
    sum[2].a=1;
    sum[3].a=2;
    for(int i=4;i<=n;i++)//根据表格规律计算a和t的系数
    {
        sum[i].a+=Fibo[i-4]+sum[i-1].a;
        sum[i].t+=Fibo[i-3]+sum[i-1].t;
    }
    return ;
}
void solve()
{
    t=(m-sum[n-1].a*a)/sum[n-1].t;//计算t的值(注意是终点站前一站)
    cout<<sum[x].a*a+sum[x].t*t<<endl;//输出第x站火车出站时人数
    return ;
}
int main()
{
    cin>>a>>n>>m>>x;//读入始发站人数，总车站数，n-1站火车出站时人数
    pre();//预处理
    solve();
    return 0;
}