牛顿迭代法求解二元非线性方程组，C++代码实现

整体迭代公式就是

上式中

，

为的雅克比矩阵，

为雅克比矩阵的逆矩阵

实例：

求解的x和y的解。

上面求根问题可转化为的问题，即可用牛顿迭代法求解此二元非线性方程。

具体求解过程代码如下所示

//线性方程组中方程个数、未知量个数
#include <iostream> 
#include <cmath>
#define N 2 // 非线性方程组中方程个数、未知量个数
#define Epsilon 0.0001 // 差向量1范数的上限
#define Max 100 //最大迭代次数
using namespace std;
const int N2=2*N;
int main()
{
	void ff(float xx[N],float yy[N]); 
	
	//计算向量函数的因变量向量yy[N]
	void ffjacobian(float xx[N],float yy[N][N]);
	
	//计算雅克比矩阵yy[N][N]
	void inv_jacobian(float yy[N][N],float inv[N][N]); 
	
	//计算雅克比矩阵的逆矩阵inv
	void newdundiedai(float x0[N], float inv[N][N],float y0[N],float x1[N]); 
	
	//由近似解向量x0 计算近似解向量x1
	float x0[N]={2.0,0.25},y0[N],jacobian[N][N],invjacobian[N][N],x1[N],errornorm;
	
	int i,j,iter=0;
	
	//如果取消对x0的初始化，撤销下面两行的注释符，就可以由键盘向x0读入初始近似解向量
	/*
	for( i=0;i<N;i++)
		cin>>x0[i];
	*/
	cout<<"初始近似解向量："<<endl;
	
	for (i=0;i<N;i++) 
		cout<<x0[i]<<"	";
	
	cout<<endl<<endl;
	
	//牛顿迭代法迭代求解过程 
	do
	{
		iter=iter+1;
		for(int xx=0;xx<=30;xx++)  
			cout<<"==";
		cout<<endl;
		cout<<"第"<<iter<<"次迭代开始"<<endl; 
		
		ff(x0,y0); 
		
		//计算雅克比矩阵jacobian
		ffjacobian(x0,jacobian); 
		
		//计算雅克比矩阵的逆矩阵invjacobian
		inv_jacobian(jacobian,invjacobian); 
		
		//由近似解向量x0 计算近似解向量x1
		newdundiedai(x0, invjacobian,y0,x1); 
		
		//计算差向量的1范数errornorm errornorm=0;
		errornorm = 0;
		for (i=0;i<N;i++)
			errornorm=errornorm+fabs(x1[i]-x0[i]);
		
		if (errornorm<Epsilon) break;
		
		for (i=0;i<N;i++)
			x0[i]=x1[i];
	
	}while (iter<Max);
	
	return 0;
}

void ff(float xx[N],float yy[N]) //调用函数
{
	float x,y;
	int i;
	x=xx[0];
	y=xx[1];
	yy[0]=x*x-2*x-y+0.5;
	yy[1]=x*x+4*y*y-4; //计算初值位置的值
	cout<<"向量函数的因变量向量是："<<endl;
	for( i=0;i<N;i++)
		cout<<yy[i]<<"	";
	cout<<endl<<endl;
}

void ffjacobian(float xx[N],float yy[N][N])
{
	float x,y;
	int i,j;
	x=xx[0];
	y=xx[1];
	//jacobian have n*n element 
	
	//计算函数雅克比的值
	yy[0][0]=2*x-2;
	yy[0][1]=-1;
	yy[1][0]=2*x;
	yy[1][1]=8*y;
	
	cout<<"雅克比矩阵是："<<endl;
	
	for( i=0;i<N;i++)
	{
		for(j=0;j<N;j++)
			cout<<yy[i][j]<<"	";
		cout<<endl;
	}
	
	cout<<endl;

}

void inv_jacobian(float yy[N][N],float inv[N][N]) 
{
	float aug[N][N2],L;
	int i,j,k;

	cout<<"开始计算雅克比矩阵的逆矩阵："<<endl;

	for(i=0;i<N;i++)
	{
		for(j=0;j<N;j++)
			aug[i][j]=yy[i][j];
	
		for(j=N;j<N2;j++)
			if(j==i+N) aug[i][j]=1;
			else aug[i][j]=0;
	}
	
	for (i=0;i<N;i++)
	{ 
		for(j=0;j<N2;j++)
			cout<<aug[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	
	cout<<endl;
	for (i=0;i<N;i++)
	{
		for (k=i+1;k<N;k++)
		{
			L=-aug[k][i]/aug[i][i];
			for(j=i;j<N2;j++)
				aug[k][j]=aug[k][j]+L*aug[i][j];
		}
	}
	
	for (i=0;i<N;i++)
	{
		for(j=0;j<N2;j++)
			cout<<aug[i][j]<<"	";
		cout<<endl;
	
	}
	cout<<endl;
	
	for (i=N-1;i>0;i--)
	{
		for (k=i-1;k>=0;k--)
		{
			L=-aug[k][i]/aug[i][i];
			for(j=N2-1;j>=0;j--)
				aug[k][j]=aug[k][j]+L*aug[i][j];
		}
	}
	
	for (i=0;i<N;i++)
	{
		for(j=0;j<N2;j++)
			cout<<aug[i][j]<<"	";
		cout<<endl;
	}
	
	cout<<endl;
	for (i=N-1;i>=0;i--)
		for(j=N2-1;j>=0;j--)
			aug[i][j]=aug[i][j]/aug[i][i];
	
	for (i=0;i<N;i++)
	{ 
		for(j=0;j<N2;j++)
			cout<<aug[i][j]<<"	";
		
		cout<<endl;
		
		for(j=N;j<N2;j++)
			inv[i][j-N]=aug[i][j];
	}
	
	cout<<endl;
	
	cout<<"雅克比矩阵的逆矩阵："<<endl;
	for (i=0;i<N;i++)
	{ 
		for(j=0;j<N;j++)
			cout<<inv[i][j]<<"	";
		cout<<endl;
	}
	
	cout<<endl;

}

void newdundiedai(float x0[N], float inv[N][N],float y0[N],float x1[N]) 
{
	
	int i,j;
	float sum=0;
	for(i=0;i<N;i++)
	{ 
		sum=0;
		for(j=0;j<N;j++)
			sum=sum+inv[i][j]*y0[j];
		x1[i]=x0[i]-sum;
	}
	cout<<"近似解向量："<<endl;
	for (i=0;i<N;i++)
		cout<<x1[i]<<"	";
	cout<<endl<<endl;

}