齐次方程组
。
显然，x=0 是方程的解，这个解太平凡了，以致于就叫
平凡解
。
我们平常更关心的是它还有没有别的解，即
非平凡解
。
下面以一个例子分析一下：
例：
判断下列齐次方程组是否有非平凡解，表示其解集。
对于这类求解集的问题，我们可以直接对增广矩阵化简，得到
从最后的行最简形式，我们可以得到解：
，其中x3 是自由变量。
所以x 的通解就是
。
也就是说，Ax=0 的解是三维空间(因为向量 v 是三维的)中的一条直线(因为只有一个自由变量)。
进一步推广，我们不难想象，如果解集中有p 个自由变量，则解集就是 m 维空间(m 为 A 的行数)中，p 个向量张成的空间。
如果没有自由变量(也就是 A 各列线性无关)，那么就有 0 个向量张成的空间，即 Span{0}，Ax=0 也就只有平凡解。
非齐次线性方程组
形如 Ax=b， 为了方便对比，我们把上面那个例子改为一个非齐次方程组进行分析：
老套路，我们对这个方程组的增广矩阵行化简：
化简后可以得到方程组的解为：
，其中x3 是自由变量。
我们把这个解集用向量的形式表示出来就是：
注意到这个向量可分解为一个常数向量
和一个可任意伸缩的向量
特解
。
注意，这里讲齐次方程组和非齐次方程组的解有一个前提，就是非齐次方程组首先要是有解的，如果0变成b 导致方程组没有解，那么也就不能用齐次方程组的解集平移了。
结合之前总结的齐次线性方程组解的性质，当方程组含有 p 个自由变量时，齐次方程组的解集是 p 个向量的张成空间，而非齐次方程组解集只是这个空间进行了平移(前提是非齐次方程组有解)，并没有改变这个空间的基本性质(比如空间的维度)。
的各个列向量线性组合组成的集合，就是A的列空间。
记作 ColA，即
ColA=Span{a1,a2,⋯,an}
这个列空间，我们应该不陌生了，上一章中很多时候都是把矩阵看成列向量的排列，考虑 Ax=b 的解的情况时其实就是在列向量中进行分析的。
列空间在分析矩阵中各列向量的线性相关性时很有帮助：
只有各列线性无关时，这 n 个列才能张成 n 维空间，这时就说这个矩阵的秩为 n；
而假如这里面有 1 列和其他某列线性相关，那么这 n 个列就只能张成n−1 维空间，这个矩阵的秩就是n−1；
也就是说，矩阵的秩说明了这个矩阵的列向量最多能张成多少维。
如下图中，A=[a1 a2 a3]
，由于有两个向量线性相关，导致 3 个列向量只能张成 2 维，因此
A
的秩为 2。
所以
Ax
得不到任意三维向量
b
，也就是
Ax=b
并不对所有
b
成立(只有
b
是
A
列空间中的向量时才成立)。
更进一步，非齐次线性方程组
Ax=b
中，如果 A已知，x和b 未知，此时我们关注的问题是 A 的列向量能张成多少维；如果 A 和 b 已知，我们关注的问题就是 A 中 n 个列向量如何线性表示能表示成 b，这时候我们如果提前知道 A 的列空间达不到 b 的维数，那么这些列向量就一定无法线性组合出 b。
秩
的东西。
完
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