6. 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理定义
完成一件事，有
n
n
n 类办法，在第1类办法中有
m
1
m_1
m1 种不同的方法，在第2类办法中有
m
2
m_2
m2 种不同的方法，…，在第
n
n
n 类办法中有
m
n
m_n
mn 种不同的方法，那么完成这件事共有
N
=
m
1
+
m
2
+
.
.
.
+
m
n
N = m_1 + m_2 + ... + m_n
N=m1+m2+...+mn 种不同的方法。
分步乘法计数原理定义
完成一件事，需要分成
n
n
n 个步骤，做第1步有
m
1
m_1
m1 种不同的方法，做第2步有
m
2
m_2
m2 种不同的方法，…，做第
n
n
n 步有
m
n
m_n
mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
N
=
m
1
⋅
m
2
⋅
…
⋅
m
n
N=m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots \cdot m_n
N=m1⋅m2⋅…⋅mn种不同的方法。
总结：如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理。如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才能完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理。
-
高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，选取代表的方法有几种？
-
若
a
a
a、
b
b
b 是正整数，且
a
+
b
≤
6
a+b≤6
a+b≤6，则以
(
a
，
b
)
(a，b)
(a，b) 为坐标的点共有多少个？
-
用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )。
A.324
B.328
C.360
D.648
-
用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( )。
A.8
B.24
C.48
D.120
-
将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有多少种？
-
如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有多少种？
-
用0，1，2，3，4，5这6个数字：
(1)可以组成多少个数字不重复的三位数。
(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数。
-
(1)六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？
(2)六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？
-
用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是？
-
若自然数
n
n
n 使得作竖式加法
n
+
(
n
+
1
)
+
(
n
+
2
)
n+(n+1)+(n+2)
n+(n+1)+(n+2) 均不产生进位现象。则称
n
n
n 为“可连数”。例如：32是“可连数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23+24+25产生进位现象。那么，小于1000的“可连数”的个数为( )
A.27
B.36
C.39
D.48
-
用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数。
-
同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有( )
A.6种
B.9种
C.11种
D.23种
-
某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.504
B.210
C.336
D.120
6.2 排列与组合
排列数的定义
从
n
n
n 个不同元素中取出
m
(
m
⩽
n
)
m(m \leqslant n)
m(m⩽n) 个元素排成一列，叫做从
n
n
n 个不同元素中取出
m
m
m 个元素的一个排列。
从
n
n
n 个不同元素中取出
m
(
m
⩽
n
)
m(m \leqslant n)
m(m⩽n) 个元素的所有排列的个数，叫做从
n
n
n 个不同元素中取出
m
m
m 个元素的排列数，用符号
A
n
m
A_n^m
Anm 表示。
排列数的公式
A
n
m
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
…
(
n
−
m
+
1
)
=
n
!
(
n
−
m
)
!
A_n^m = n(n-1)(n-2) \ldots (n-m+1) = \dfrac{n!}{(n-m)!}
Anm=n(n−1)(n−2)…(n−m+1)=(n−m)!n!
当
m
=
n
m = n
m=n 时，
A
n
m
=
n
!
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
…
3
⋅
2
⋅
1
A_n^m = n! = n(n-1)(n-2) \ldots 3 \cdot 2 \cdot 1
Anm=n!=n(n−1)(n−2)…3⋅2⋅1
0
!
=
1
0! = 1
0!=1
排列数的性质
-
A
n
m
=
n
A
n
−
1
m
−
1
A_n^m = nA_{n-1}^{m-1}
Anm=nAn−1m−1
-
A
n
m
=
1
n
−
m
A
n
m
+
1
=
n
n
−
m
A
n
−
1
m
A_n^m = \dfrac{1}{n-m}A_n^{m+1}=\dfrac{n}{n-m}A_{n-1}^m
Anm=n−m1Anm+1=n−mnAn−1m
-
A
n
m
=
m
A
n
−
1
m
−
1
+
A
n
−
1
m
A_n^m = mA_{n-1}^{m-1} + A_{n-1}^{m}
Anm=mAn−1m−1+An−1m
组合数定义
从
n
n
n 个不同元素中取出
m
(
m
⩽
n
)
m(m \leqslant n)
m(m⩽n) 个元素并成一组，叫做从
n
n
n 个不同元素中取出
m
m
m 个元素的一个组合。
从
n
n
n 个不同元素中取出
m
(
m
⩽
n
)
m(m \leqslant n)
m(m⩽n) 个元素的所有组合的个数，叫做从
n
n
n 个不同元素中取出
m
m
m 个元素的组合数，用符号
C
n
m
C_n^m
Cnm 表示。
组合数公式及其推导
求从
n
n
n 个不同元素中取出
m
m
m 个元素的排列数
A
n
m
A_n^m
Anm，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这
n
n
n 个不同元素中取出
m
m
m 个元素的组合数
C
n
m
C_n^m
Cnm；
第二步，求每一个组合中
m
m
m 个元素的全排列数
A
m
m
A_m^m
Amm；
根据分步计数原理，得到
A
n
m
=
C
n
m
⋅
A
m
m
A_n^m = C_n^m \cdot A_m^m
Anm=Cnm⋅Amm，
因此
C
n
m
=
A
n
m
A
m
m
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
…
(
n
−
m
+
1
)
m
!
C_n^m = \dfrac{A_n^m}{A_m^m}=\dfrac{n(n-1)(n-2) \ldots (n-m+1)}{m!}
Cnm=AmmAnm=m!n(n−1)(n−2)…(n−m+1)
这里
n
,
m
∈
N
+
n,m \in N_+
n,m∈N+，且
m
⩽
n
m \leqslant n
m⩽n，这个公式叫做组合数公式。
因为
A
n
m
=
n
!
(
n
−
m
)
!
A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}
Anm=(n−m)!n!，所以组合数公式还可表示为
C
n
m
=
n
!
m
!
(
n
−
m
)
!
C_n^m = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}
Cnm=m!(n−m)!n!
C
n
0
=
C
n
n
=
1
C_n^0 = C_n^n = 1
Cn0=Cnn=1
组合数的性质
-
C
n
m
=
C
n
n
−
m
C_n^m = C_n^{n-m}
Cnm=Cnn−m
-
C
n
m
+
C
n
m
−
1
=
C
n
+
1
m
C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m
Cnm+Cnm−1=Cn+1m
排列组合的综合应用
- 列举法
- 情况较少。当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树形图法、图表法或者框图法。
-
(无限制条件的排列问题)利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
-
(元素相邻问题)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A.1440种
B.720种
C.960种
D.480种
-
某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的不同种数为多少？
-
(元素不相邻问题)《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味。若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( )
A.288种
B.144种
C.720种
D.360种
-
一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
-
(定位、定元问题)6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有多少种不同站法？
-
(无限制条件的组合问题)从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为( )
A.18
B.200
C.2800
D.33600
-
(有限制条件的组合问题)某医院从10名医疗专家中抽调6名赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家。问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
-
三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有( )
A. 5种
B. 10种
C. 8种
D. 16种
-
设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为？
-
有红、黄、蓝色的球各5只，分别标有A、B、C、D、E五个字母，现从中取5只，要求各字母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法?
6.3 二项式定理
二项式定理定义
一般地，对于任意正整数
n
n
n，都有
(
a
+
b
)
n
=
C
n
0
a
n
+
C
n
1
a
n
−
1
b
+
…
+
C
n
r
a
n
−
r
b
r
+
…
+
C
n
n
b
n
(
n
∈
N
∗
)
(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + \ldots + C_n^ra^{n-r}b^r + \ldots + C_n^nb^n (n \in N*)
(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+…+Cnran−rbr+…+Cnnbn(n∈N∗) 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做
(
a
+
b
)
n
(a+b)^n
(a+b)n 的二项展开式。
式中的
C
n
r
a
n
−
r
b
r
C_n^ra^{n-r}b^{r}
Cnran−rbr 叫做二项展开式的通项， 用
T
r
+
1
T_{r+1}
Tr+1 表示，即通项为展开式的第
r
+
1
r+1
r+1 项：
T
r
+
1
=
C
n
r
a
n
−
r
b
r
T_{r+1} = C_n^ra^{n-r}b^r
Tr+1=Cnran−rbr，其中的系数
C
n
r
(
r
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
)
C_n^r (r=0,1,2, \ldots ,n)
Cnr(r=0,1,2,…,n) 叫做二项式系数。
二项式
(
a
+
b
)
n
(a+b)^n
(a+b)n 的展开式的特点
- 项数：共有
n
+
1
n+1
n+1 项，比二项式的次数大1；
- 二项式系数：第
r
+
1
r+1
r+1 项的二项式系数为
C
n
r
C_n^r
Cnr，最大二项式系数项居中；
- 次数：各项的次数都等于二项式的幂指数
n
n
n。字母
a
a
a 降幂排列，次数由
n
n
n 到 0；字母
b
b
b 升幂排列，次数从0到
n
n
n，每一项中，
a
,
b
a,b
a,b 次数和均为
n
n
n；
- 项的系数：二项式系数依次是
C
n
0
，
C
n
1
，
C
n
2
，
…
，
C
n
r
，
…
，
C
n
n
C_n^0，C_n^1，C_n^2，\ldots，C_n^r，\ldots ，C_n^n
Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnr，…，Cnn，项的系数是
a
a
a 与
b
b
b 的系数(包括二项式系数)。
两个常用的二项展开式
-
(
a
−
b
)
n
=
C
n
0
a
n
−
C
n
1
a
n
−
1
b
+
…
+
(
−
1
)
r
⋅
C
n
r
a
n
−
r
b
r
+
…
+
(
−
1
)
n
⋅
C
n
n
b
n
(
n
∈
N
∗
)
(a-b)^n = C_n^0a^n - C_n^1a^{n-1}b + \ldots + (-1)^r \cdot C_n^ra^{n-r}b^r + \ldots +(-1)^n \cdot C_n^nb^n (n \in N^*)
(a−b)n=Cn0an−Cn1an−1b+…+(−1)r⋅Cnran−rbr+…+(−1)n⋅Cnnbn(n∈N∗)
-
(
1
+
x
)
n
=
1
+
C
n
1
x
+
C
n
2
x
2
+
…
+
C
n
r
x
r
+
…
+
x
n
(1+x)^n = 1 + C_n^1x + C_n^2x^2 + \ldots + C_n^rx^r + \ldots + x^n
(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+xn
二项展开式的通项公式
T
r
+
1
=
C
n
r
a
n
−
r
b
r
(
r
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
)
T_{r+1} = C_n^ra^{n-r}b^r(r=0,1,2, \ldots ,n)
Tr+1=Cnran−rbr(r=0,1,2,…,n)
公式特点：
- 它表示二项展开式的第
r
+
1
r+1
r+1 项，该项的二项式系数是
C
n
r
C_n^r
Cnr；
- 字母
b
b
b 的次数和组合数的上标相同；
-
a
a
a 与
b
b
b 的次数之和为
n
n
n。
