OpenJudge百练第4147号习题:汉诺塔问题
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OpenJudge网站 —— 百练习题集-第4147号习题
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描述
一、汉诺塔问题
有三根杆子A,B,C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘,盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆: 每次只能移动一个圆盘; 大盘不能叠在小盘上面。 提示:可将圆盘临时置于B杆,也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆,但都必须遵循上述两条规则。
问:如何移?最少要移动多少次?
汉诺塔示意图如下:
三个盘的移动:
二、故事由来
法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
不管这个传说的可信度有多大,如果考虑一下把64片金片,由一根针上移到另一根针上,并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假设有n片,移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7,且f(k+1)=2*f(k)+1。此后不难证明f(n)=2^n-1。n=64时, 假如每秒钟一次,共需多长时间呢?一个平年365天有31536000 秒,闰年366天有31622400秒,平均每年31556952秒,计算一下: 18446744073709551615秒 这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上,而地球存在至今不过45亿年,太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年,不说太阳系和银河系,至少地球上的一切生命,连同梵塔、庙宇等,都早已经灰飞烟灭。
三、解法
解法的基本思想是递归。假设有A、B、C三个塔,A塔有N块盘,目标是把这些盘全部移到C塔。那么先把A塔顶部的N-1块盘移动到B塔,再把A塔剩下的大盘移到C,最后把B塔的N-1块盘移到C。 每次移动多于一块盘时,则再次使用上述算法来移动。
输入
输入为一个整数后面跟三个单字符字符串。
整数为盘子的数目,后三个字符表示三个杆子的编号。
输出
输出每一步移动盘子的记录。一次移动一行。
每次移动的记录为例如3:a->b 的形式,即把编号为3的盘子从a杆移至b杆。
我们约定圆盘从小到大编号为1, 2, …n。即最上面那个最小的圆盘编号为1,最下面最大的圆盘编号为n。
样例输入
3 a b c
样例输出
1:a->c
2:a->b
1:c->b
3:a->c
1:b->a
2:b->c
1:a->c
提示
加粗样式可参考如下网址:
http://blog.csdn.net/geekwangminli/article/details/7981570
http://www.cnblogs.com/yanlingyin/archive/2011/11/14/2247594.html
原来源
重庆科技学院 WJQ
解题思路
- 我们把问题进行抽象,概括为:把1号到n号盘从start柱子移到end柱子,移动步骤是什么?用函数move(n, start, end)来封装上述问题的求解过程。
- 假设n是盘子总数,柱子是a, b, c,则有:
(1) move(n, a, c) = move(n-1, a, b) + n:a->c + move(n-1, b, c) 。n:a->c指的是把n号盘从a柱子移动到c柱子;这里的加号+指的是执行过程的拼接。
(2)move(n-1, a, b) = move(n-2, a, c) + n-1:a->b + move(n-2, c, b)
我们可以继续展开求解move(n-2, a, c)或move(n-2, c, b)的过程。相信你已经找出规律。
- 函数move(n, start, end)是一个递归函数。在函数内部,先求出过渡用的中介柱子by,接着落实“move(n, start, end) = move(n-1, start, by) + n:a->c + move(n-1, by, end) ”即达成目的。
- 递归函数move的终止条件是n=1。
参考答案
n, a, b, c = input().split()
n = int(n)
abc = set([a, b, c])
#把1号到n号盘从start柱子移到end柱子,输出移动轨迹
def move(n, start, end):
if n == 1:
print("%d:%s->%s"%(n, start, end))
return
# move(n, a, c) = move(n-1, a, b) + n:a->c + move(n-1, b, c)
s_e = set([start, end])
by = list(abc - s_e)[0]
move(n-1, start, by)
print("%d:%s->%s"%(n, start, end))
move(n-1, by, end)
move(n, a, c)
测试用例
- 题目描述给出的测试用例覆盖了一般情形。
- n=1的边界情形。
样例输入
1 r s t
样例输出
1:r->t
- n=2
样例输入
2 a b c
样例输出
2:a->b
1:a->c
2:b->c
小结
- 运用递归,一个看起来复杂的问题可能变得异常简单。汉诺塔问题就是一例。
- 关键点是发现递归规律。也要注意递归终止条件。
- 尽管题目要求把n张盘从a柱子移到c柱子,但不能把问题概括为move(n, a, c),而应该概括为move(n, start, end)。原因是,出发柱子和到达柱子是不固定的。例如:move(n, a, c) = move(n-1, a, b) + n:a->c + move(n-1, b, c)。