机构运动学分析

背景介绍

  空间机构具有结构紧凑、运动灵活等特点，在航空航天、精密仪器以及工业设备等领域具有广泛的应用。调研发现，机械臂一般采用伺服电机作为动力源，通过空间连杆驱动末端执行器，大大的减轻了工人的劳动强度。本节中主要是针对RSSR空间连杆机构进行运动学和动力学分析，为设计电机驱动提供参考依据，并且相关成果能够为后续的结构优化设计提供理论支撑，缩短产品从概念到落地的周期。

  RSSR空间连杆机构在现实生活中应用广泛，过去几年内吸引了国内外大量的研究学者的兴趣。本推文在相关工作基础上，采用MATLAB编写相应的程序，建立各杆长与输出转角之间的函数关系，具体内容如下所示：

运动学分析

  采用解析法对空间连杆机构进行分析时，可以通过矢量回转法和旋转矩阵法建立RSSR空间连杆机构的数学模型：对于旋转矩阵法来说，通过坐标变换，得到A、B两点矩阵法表述的坐标，基于连杆AB杆长的约束建立数学方程，得到输入角与输出角之间函数关系。

程序源码

clear all;clc
% 根据具体情况输入RSSR空间机构相关参数(主要包含m、n......相关参数以及原动件转角)
sita=90-yuandongjiao;
a=-cosd(beta)*sind(sita)+(q./m)*sind(beta);

b=-(h/m)-cosd(sita);
c=(-p*sind(beta).*sind(sita)+h*cosd(sita))/n+(-l*l+m*m+n*n+h*h+p*p+q*q-2*p*p*q*q*cosd(beta))/(2*m*n);
fai1=2*atand((a+sqrt(a.*a+b.*b-c.*c))./(b-c));
fai2=2*atand((a-sqrt(a.*a+b.*b-c.*c))./(b-c));
fai=90+fai2;
plot(yuandongjiaofai,'g')

动力学分析

  研究表明，机器人精确的运动控制离不开动力学分析。本部分对常用的动力学分析方法进行介绍，提供简单实例，为后续工作提供基础。本推文中采用双连杆机构，通过拉格朗日动力学分析关节的受力状态，具体内容如下所示：

  选取笛卡尔坐标系。连杆1和连杆2的关节变量分别为转角 θ₁ 和 θ₂，关节1和关节2相应的力矩是 τ₁和 τ₂。连杆1和连杆2的质量分别是 m₁和 m₂，杆长分别为 l₁和 l₂，重心分别在 C₁ 和 C₂ 处，离关节中心的距离分别为 d₁ 和 d₂。

1. 系统的动能表述

  杆1重心 C₁ 的坐标为：

x 1 = d 1 sin ⁡ θ 1 y 1 = − d 1 cos ⁡ θ 1 \begin{aligned} & {x_1} = {d_1}\sin {\theta _1} \\ & {y_1} = - {d_1}\cos {\theta _1} \end{aligned} ​x1​=d1​sinθ1​y1​=−d1​cosθ1​​

则速度的平方和为：

x ˙ 1 2 + y ˙ 1 2 = ( d 1 θ ˙ 1 ) 2 \dot x_1^2 + \dot y_1^2 = {\left( {{d_1}{{\dot \theta }_1}} \right)^2} x˙12​+y˙​12​=(d1​θ˙1​)2

杆2重心 C₂ 的位置坐标为：

x 2 = l 2 sin ⁡ θ 1 + d 2 sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) y 2 = − l 1 cos ⁡ θ 1 − d 2 cos ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) \begin{aligned} &{x_2} = {l_2}\sin {\theta _1} + {d_2}\sin ({\theta _1} + {\theta _2}) \\ & {y_2} = - {l_1}\cos {\theta _1} - {d_2}\cos ({\theta _1} + {\theta _2}) \end{aligned} ​x2​=l2​sinθ1​+d2​sin(θ1​+θ2​)y2​=−l1​cosθ1​−d2​cos(θ1​+θ2​)​

则速度的平方和为：

x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 = l 1 2 θ ˙ 1 2 + d 2 2 ( θ ˙ 1 + θ ˙ 2 ) + 2 l 1 d 2 ( θ ˙ 1 2 + θ ˙ 1 θ ˙ 2 ) cos ⁡ θ 2 \dot x_2^2 + \dot y_2^2 = l_1^2{{\dot \theta }_1}^2 + d_2^2({{\dot \theta }_1} + {{\dot \theta }_2}) + 2{l_1}{d_2}({{\dot \theta }_1}^2 + {{\dot \theta }_1}{{\dot \theta }_2})\cos {\theta _2} x˙22​+y˙​22​=l12​θ˙1​2+d22​(θ˙1​+θ˙2​)+2l1​d2​(θ˙1​2+θ˙1​θ˙2​)cosθ2​

系统的动能为：

E k = ∑ E k i E k 1 = 1 2 m 1 d 1 2 θ ˙ 1 2 E k 2 = 1 2 m 2 l 1 2 θ ˙ 1 2 + 1 2 m 2 d 2 2 ( θ ˙ 1 + θ ˙ 2 ) 2 + m 2 l 1 d 2 ( θ ˙ 1 2 + θ ˙ 1 θ ˙ 2 ) \begin{aligned} &{E_k} = \sum {{E_{ki}}} \\ & {E_{k1}} = {1 \over 2}{m_1}d_1^2{{\dot \theta }_1}^2 \\ & {E_{k2}} = {1 \over 2}{m_2}l_1^2{{\dot \theta }_1}^2 + {1 \over 2}{m_2}d_2^2{\left( {{{\dot \theta }_1} + {{\dot \theta }_2}} \right)^2} + {m_2}{l_1}{d_2}({{\dot \theta }_1}^2 + {{\dot \theta }_1}{{\dot \theta }_2}) \end{aligned} ​Ek​=∑Eki​Ek1​=21​m1​d12​θ˙1​2Ek2​=21​m2​l12​θ˙1​2+21​m2​d22​(θ˙1​+θ˙2​)2+m2​l1​d2​(θ˙1​2+θ˙1​θ˙2​)​

2. 系统的势能表述

E p = ∑ E p i E p 1 = m 1 g d 1 ( 1 − cos ⁡ θ 1 ) E p 2 = m 2 g l 1 ( 1 − cos ⁡ θ 1 ) + m 2 g d 2 ( 1 − cos ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) ) \begin{aligned} & {E_p} = \sum {{E_{pi}}} \\ & {E_{p1}} = {m_1}g{d_1}(1 - \cos {\theta _1}) \\ & {E_{p2}} = {m_2}g{l_1}(1 - \cos {\theta _1}) + {m_2}g{d_2}\left( {1 - \cos \left( {{\theta _1} + {\theta _2}} \right)} \right) \end{aligned} ​Ep​=∑Epi​Ep1​=m1​gd1​(1−cosθ1​)Ep2​=m2​gl1​(1−cosθ1​)+m2​gd2​(1−cos(θ1​+θ2​))​

3. 建立拉格朗日函数
L = E k − E p L = {E_k} - {E_p} L=Ek​−Ep​

4. 系统动力学方程

  根据拉格朗日方程计算各关节上的力矩，其中，关节1上力矩τ1为：
τ 1 = d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ 1 {\tau _1} = {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial \dot \theta }} - {{\partial L} \over {\partial {\theta _1}}} τ1​=dtd​∂θ˙∂L​−∂θ1​∂L​