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【第一章 线性代数】1.3矩阵的逆
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1、掌握矩阵逆的来源，可逆的充要条件，伴随矩阵算逆矩阵
2、掌握逆矩阵的性质
第一部分：要计算矩阵的逆，先要有一些内容的铺垫
（i）
∣
A
T
∣
=
∣
A
∣
|A^T|=|A|
∣AT∣=∣A∣（行列式性质1）；
（ii）
∣
λ
A
∣
=
λ
n
∣
A
∣
|\lambda A|=\lambda ^n|A|
∣λA∣=λn∣A∣；
（ii）
∣
A
B
∣
=
∣
A
∣
∣
B
∣
|AB|=|A||B|
∣AB∣=∣A∣∣B∣.
第二部分：
行列式|Al的各个元素的代数余子式
A
i
j
A_{ij}
Aij转置后所构成的如下矩阵
A
∗
=
[
A
11
A
21
⋯
A
n
1
A
12
A
22
⋯
A
n
2
⋮
⋮
⋮
A
1
n
A
2
n
⋯
A
n
n
]
A^*= \begin{bmatrix} A_{11} \quad A_{21} \cdots A_{n1} \\ A_{12} \quad A_{22} \cdots A_{n2} \\\vdots \quad\vdots \quad\vdots \\ A_{1n} \quad A_{2n}\cdots A_{nn} \end{bmatrix}
A∗=⎣⎢⎢⎢⎡A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann⎦⎥⎥⎥⎤
称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵
A
A
∗
=
A
∗
A
=
∣
A
∣
E
(1)
AA^*=A^*A=|A|E \tag{1}
AA∗=A∗A=∣A∣E(1)
伴随矩阵需要注意两点：
1.伴随矩阵中的每一项代数余子式
A
i
j
A_{ij}
Aij都是实数
2.代数余子式
A
i
j
A_{ij}
Aij的下标要注意，有转置的关系
下面对公式（1）做简单的证明，先记
X
=
A
A
∗
X=AA^*
X=AA∗
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
[
A
11
A
21
⋯
A
n
1
A
12
A
22
⋯
A
n
2
⋮
⋮
⋮
A
1
n
A
2
n
⋯
A
n
n
]
\begin{bmatrix} a_{11} \quad a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} \quad a_{22} \cdots a_{2n} \\\vdots \quad\vdots \quad\vdots \\ a_{n1} \quad a_{n2}\cdots a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{11} \quad A_{21} \cdots A_{n1} \\ A_{12} \quad A_{22} \cdots A_{n2} \\\vdots \quad\vdots \quad\vdots \\ A_{1n} \quad A_{2n}\cdots A_{nn} \end{bmatrix}
⎣⎢⎢⎢⎡a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann⎦⎥⎥⎥⎤
以上两个矩阵相乘结果也是矩阵，我们可以计算出结果中的
X
11
X_{11}
X11应该为以上矩阵第一行乘上第一列：
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
]
[
A
11
A
12
⋮
A
1
n
]
\begin{bmatrix} a_{11} \quad a_{12} \cdots a_{1n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{11}\\ A_{12}\\\vdots \\ A_{1n} \end{bmatrix}
[a11a12⋯a1n]⎣⎢⎢⎢⎡A11A12⋮A1n⎦⎥⎥⎥⎤
=
a
11
A
11
+
a
12
A
12
+
⋯
+
a
1
n
A
1
n
=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots + a_{1n}A_{1n}
=a11A11+a12A12+⋯+a1nA1n
根据行列式的展开的定理（上节中的定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和）可知，上面式子结果为：
∣
A
∣
|A|
∣A∣
同理，计算
X
22
X_{22}
X22应该为以上矩阵第2行乘上第2列：
[
a
21
a
22
⋯
a
2
n
]
[
A
21
A
22
⋮
A
2
n
]
\begin{bmatrix} a_{21} \quad a_{22} \cdots a_{2n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{21}\\ A_{22}\\\vdots \\ A_{2n} \end{bmatrix}
[a21a22⋯a2n]⎣⎢⎢⎢⎡A21A22⋮A2n⎦⎥⎥⎥⎤
=
a
21
A
21
+
a
22
A
22
+
⋯
+
a
2
n
A
2
n
=
∣
A
∣
=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+\cdots + a_{2n}A_{2n}=|A|
=a21A21+a22A22+⋯+a2nA2n=∣A∣
以此类推，X对角线上都是
∣
A
∣
|A|
∣A∣
再看其他位置，例如
X
12
X_{12}
X12
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
]
[
A
21
A
22
⋮
A
2
n
]
\begin{bmatrix} a_{11} \quad a_{12} \cdots a_{1n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{21}\\ A_{22}\\\vdots \\ A_{2n} \end{bmatrix}
[a11a12⋯a1n]⎣⎢⎢⎢⎡A21A22⋮A2n⎦⎥⎥⎥⎤
=
a
11
A
21
+
a
12
A
22
+
⋯
+
a
1
n
A
2
n
=
0
=a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+\cdots + a_{1n}A_{2n}=0
=a11A21+a12A22+⋯+a1nA2n=0
这里用的上一节的推论：
以此类推，X的对角线位置以外的地方都是0
X
=
[
∣
A
∣
0
⋯
0
0
∣
A
∣
⋯
0
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
∣
A
∣
]
X= \begin{bmatrix} |A| \quad 0 \cdots 0 \\ 0 \quad |A| \cdots 0 \\\vdots \quad \vdots \quad\vdots \\ 0 \quad 0 \cdots |A|\end{bmatrix}
X=⎣⎢⎢⎢⎡∣A∣0⋯00∣A∣⋯0⋮⋮⋮00⋯∣A∣⎦⎥⎥⎥⎤
由于
∣
A
∣
|A|
∣A∣是常数，所以可以把上面的
∣
A
∣
|A|
∣A∣从矩阵中提取出来
∣
A
∣
[
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
1
]
=
∣
A
∣
E
|A|\begin{bmatrix} 1 \quad 0 \cdots 0 \\ 0 \quad 1 \cdots 0 \\\vdots \quad \vdots \quad\vdots \\ 0 \quad 0 \cdots 1\end{bmatrix}=|A|E
∣A∣⎣⎢⎢⎢⎡10⋯001⋯0⋮⋮⋮00⋯1⎦⎥⎥⎥⎤=∣A∣E
结论得证。
定义7对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使
A
B
=
B
A
=
E
AB=BA=E
AB=BA=E
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。
如果矩阵A是可逆的，那么A的逆阵是惟一的。这是因为：设B，C都是A的逆阵，则有
B
=
B
E
=
B
(
A
C
)
=
(
B
A
)
C
=
E
C
=
C
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C
所以A的逆阵是惟一的.
A的逆阵记作
A
−
1
A^{-1}
A−1。即若AB=BA=E，则
B
=
A
−
1
B=A^{-1}
B=A−1。
若矩阵A可逆，则
∣
A
∣
≠
0
|A|\neq 0
∣A∣=0.
证：A可逆，即有
A
−
1
A^{-1}
A−1，使
A
A
−
1
=
E
AA^{-1}=E
AA−1=E.故
∣
A
∣
⋅
∣
A
−
1
∣
=
∣
E
∣
=
1
|A|·|A^{-1}|=|E|=1
∣A∣⋅∣A−1∣=∣E∣=1（这里是根据先导知识的公式3），所以
∣
A
∣
≠
0
|A|\neq 0
∣A∣=0。
若
∣
A
∣
≠
0
|A|\neq 0
∣A∣=0，则矩阵A可逆，且
A
−
1
=
1
∣
A
∣
A
∗
A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*
A−1=∣A∣1A∗，其中
A
∗
A^*
A∗为A的伴随矩阵。
证明过程：
A
A
∗
=
A
∗
A
=
∣
A
∣
E
(1)
AA^*=A^*A=|A|E \tag{1}
AA∗=A∗A=∣A∣E(1)
由公式1变化，同时除以|A|（这个玩意是实数，不是矩阵，可以直接除），得：
A
A
∗
∣
A
∣
=
A
∗
∣
A
∣
A
=
E
A\frac{A^*}{|A|}=\frac{A^*}{|A|}A=E
A∣A∣A∗=∣A∣A∗A=E
根据上面逆的定义公式：
A
B
=
B
A
=
E
AB=BA=E
AB=BA=E
B
=
A
−
1
=
1
∣
A
∣
A
∗
B=A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*
B=A−1=∣A∣1A∗
推论：若AB=E（或BA=E），则
B
=
A
−
1
B=A^{-1}
B=A−1。这里要注意，和逆的定义中不一样的是这里的两个条件是或的关系，定义中是并且的关系。
证明法一：AB=E→|A||B|=1→|A|≠0，由上面的定理2，A可逆，再根据定义可知A的逆唯一，
A
−
1
=
B
A^{-1}=B
A−1=B
证明法二：AB=E→
A
−
1
A
B
=
A
−
1
E
A^{-1}AB=A^{-1}E
A−1AB=A−1E→
E
B
=
A
−
1
E
EB=A^{-1}E
EB=A−1E→
B
=
A
−
1
B=A^{-1}
B=A−1
（i）若A可逆，则
A
−
1
A^{-1}
A−1亦可逆，且
(
A
−
1
)
−
1
=
A
(A^{-1})^{-1}=A
(A−1)−1=A.
（i）若A可逆，数
λ
≠
0
\lambda\neq0
λ=0，则
λ
A
\lambda A
λA可逆，且
(
λ
A
)
−
1
=
1
λ
A
−
1
(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}
(λA)−1=λ1A−1
（ii）若A，B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且
（AB）-1=B1A1.
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
(AB)−1=B−1A−1
（iv）若A可逆，则
A
T
A^{T}
AT亦可逆，且
(
A
T
)
−
1
=
(
A
−
1
)
T
(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}
(AT)−1=(A−1)T
