连续和离散傅立叶变换总结及推导

连续时间复指数信号

e j w 0 t e^{jw_0t} ejw0​t

是否为周期信号？ x ( t ) = x ( t + T ) x(t) = x(t+T) x(t)=x(t+T) 现假设 x ( t ) = e j w 0 t x(t) = e^{jw_0t} x(t)=ejw0​t
e j w 0 t = e j w 0 ( t + T ) e^{jw_0t}=e^{jw_0(t+T)} ejw0​t=ejw0​(t+T)
当且仅当 w 0 T = 2 π → T = 2 π w 0 w_0T=2\pi\rightarrow T=\frac{2\pi}{w_0} w0​T=2π→T=w0​2π​

w 0 = 0 w_0=0 w0​=0 无基波周期

w 0 ≠ 0 , T = 2 π w 0 w_0 \neq 0, T=\frac{2\pi}{w_0} w0​​=0,T=w0​2π​

一组基波 w 0 w_0 w0​的整数倍构成的信号：
ϕ k ( t ) = e j k w 0 t k = 0 , ± 1 , ± 2 ⋯ \phi_k(t)=e^{jkw_0t}\quad k=0,\pm1,\pm2\cdots ϕk​(t)=ejkw0​tk=0,±1,±2⋯
x ( t ) x(t) x(t)信号由若干的复指数信号构成，如
x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k e j k w 0 t x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jkw_0t} x(t)=k=−∞∑∞​ak​ejkw0​t
我们可以得到傅立叶系数 FS
a k = 1 T ∫ T x ( t ) e − j k w 0 t d t a_k=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jkw_0t}dt ak​=T1​∫T​x(t)e−jkw0​tdt
证明过程：

例题：


傅立叶级数的性质

离散时间复指数信号

e j w 0 n e^{jw_0n} ejw0​n

上面 n n n只能取整数。
e j ( w 0 + 2 π ) n = e j 2 π n e j w 0 n = e j w 0 n e^{j(w_0+2\pi)n} = e^{j2\pi n}e^{jw_0n} = e^{jw_0n} ej(w0​+2π)n=ej2πnejw0​n=ejw0​n
上述式子表明 w 0 w_0 w0​和 w 0 + 2 π w_0 + 2\pi w0​+2π 一样，因此 w 0 w_0 w0​的不断增加并不是和振荡增加对应

在 w 0 = π w_0 = \pi w0​=π的时候，有
e j π n = ( e j π ) n = ( − 1 ) n e^{j\pi n} =(e^{j\pi})^n=(-1)^n ejπn=(ejπ)n=(−1)n
此时信号在每一点都符号都发生变化。

是否周期信号? x [ n ] = x [ n + N ] x[n]=x[n+N] x[n]=x[n+N]，现 x [ n ] = e j w 0 n x[n]=e^{jw_0n} x[n]=ejw0​n
e j w 0 ( n + N ) = e j w 0 n e^{jw_0(n+N)} = e^{jw_0n} ejw0​(n+N)=ejw0​n
则保证
e j w 0 N = 1 e^{jw_0N} = 1 ejw0​N=1
则
w 0 N = 2 π m w_0 N = 2\pi m w0​N=2πm
即
N = 2 π m w 0 N=\frac{2\pi m}{w_0} N=w0​2πm​
要 N N N为整数，则 w 0 2 π = m N \frac{w_0}{2\pi}=\frac{m}{N} 2πw0​​=Nm​为有理数，则该信号为周期。若 m m m和 N N N无公因子，则周期为 N N N


比较：

我们现在构建一组基波周期为 N N N的离散信号为
ϕ k [ n ] = e j k w 0 n = e j k 2 π N n k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ \phi_k[n] = e^{jkw_0n}=e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\quad k=0,\pm1,\pm2,\cdots ϕk​[n]=ejkw0​n=ejkN2π​nk=0,±1,±2,⋯

x [ n ] = ∑ k a k ϕ k [ n ] = ∑ k a k e j k w 0 n = ∑ k a k e j k 2 π N n x[n]=\sum_ka_k\phi_k[n]=\sum_ka_ke^{jkw_0n}=\sum_ka_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n} x[n]=k∑​ak​ϕk​[n]=k∑​ak​ejkw0​n=k∑​ak​ejkN2π​n
由于有 ϕ k [ n ] = ϕ k + r N [ n ] \phi_k[n]=\phi_{k+rN}[n] ϕk​[n]=ϕk+rN​[n]，则 k k k只在 N N N个相继值区间频率是不相同的， k k k可取 0 , ⋯   , N − 1 0,\cdots,N-1 0,⋯,N−1，也可以取 3 , 4 , ⋯   , N + 2 3,4,\cdots,N+2 3,4,⋯,N+2

则
x [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 a k ϕ k [ n ] = ∑ k = 0 N − 1 a k e j k w 0 n = ∑ k = 0 N − 1 a k e j k 2 π N n x[n] = \sum_{k=0}^{N-1}a_k\phi_k[n]=\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{jkw_0n}=\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n} x[n]=k=0∑N−1​ak​ϕk​[n]=k=0∑N−1​ak​ejkw0​n=k=0∑N−1​ak​ejkN2π​n
我们可以计算出离散时间傅立叶系数DFS：
a k = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j k w 0 n − ∞ < k < ∞ a_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jkw_0n}\quad -\infty < k < \infty ak​=N1​n=0∑N−1​x[n]e−jkw0​n−∞<k<∞
证明过程：

例题：


离散时间傅立叶级数性质

连续时间傅立叶变换（FT）

非周期信号：

周期矩形波：

a k = 1 T S a ( 2 k π w 0 T 1 ) a_k = \frac{1}{T}Sa(\frac{2k\pi w_0}{T_1}) ak​=T1​Sa(T1​2kπw0​​)

T a k = S a ( 2 π w T 1 ) Ta_k = Sa(\frac{2\pi w}{T_1}) Tak​=Sa(T1​2πw​)

我们可以将式(17)看成式(18)的包络函数的样本。

我们先把周期信号表示成
x ~ ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k e j k w 0 t \tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jkw_0t} x~(t)=