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证明：实对称矩阵中，属于不同特征值的特征向量相互正交

2023-05-16

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证明：实对称矩阵中，属于不同特征值的特征向量相互正交.

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设AP=λ1P，AP=λ2P，其中A为实对称矩阵，λ1、λ2为A的不同的特征值，P和Ｑ分别为对应的特征向量　

PT(AQ) = PT(λ2Q) = λ2PTQ   (1)

(PTA)Q = (PTAT)Q = (AP)TQ = (λ1P)TQ = λ1PTQ   (2)

因为PT(AQ)=(PTA)Q

由(1) - (2)得：

PT(AQ) - (PTA)Q = (λ1 - λ2)PTQ 

即 0 = (λ1 - λ2)PTQ

又由于λ1 ≠ λ2，所以PTQ=0

即<P, Q> = 0，从而P与Ｑ相互正交

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