四元数的差、对数、指数、幂以及差值

概要

对于四元数的学习基本上都是参照《3D数学基础-图形与游戏开发这本书的内容的》对于这本书前面的部分还是很好理解的，但是从四元数的差这里开始，就过于抽象了，不配合实例很难去理解。
因此，这一段被我单独提取出来，在实践中进一步去理解。
差，对数，指数等是定义式，不要试图在四元数的这些操作中找到这些数学符号的本身含义，它只是被定义成这样子的，没有为什么。。

四元数的差

四元数的差表示四元数的两个四元数的角位移，比如ad=b，则d就定义为a和b的差。
有 d = a − 1 b d=a^{-1}b d=a−1b

四元数的对数

这个定义有点玄乎，我们定义 α = θ / 2 \alpha = \theta/2 α=θ/2
则四元数的定义就变成了[cosα xsinα ysinα zsinα]
我们定义其对数为
logq = log([cosα nsinα]) ≡ [0 nα]
是的，这样定义我也觉得很奇怪，但是既然有这个定义，那一定是有理由的，暂且先不管为什么要有这种操作，继续学习。

四元数的指数

指数的定义是和对数的定义严格相反的
设p = [0 nα]
exp p = exp [0,nα] ≡ [cosα nsinα]

四元数求幂

设四元数为q，则有四元数的幂运算 q t q^t qt
不同于上面的运算看似毫无意义，这个运算的定义是有几何意义的， q t q^t qt的含义是绕轴n旋转t* θ \theta θ个角度
更通俗一点，比如说q是绕某轴旋转w°，则 q 2 q^2 q2是旋转2w°， q 1 3 q^{\frac{1}{3}} q31​是旋转三分之一w， q − 1 q^{-1}