一文搞懂积分不等式证明(积分证明题总结笔记3/3)

积分证明题是考研中难度较大的板块，很多学弟学妹们希望我出一篇总结文章，故作本文，希望对大家有所帮助。

本文所涉及题目，均是来自市面上常见题册（李林880，张宇1000题，汤家凤1800等）

由于内容较多，故分为三部分：

等式证明（点击进入）
由积分判断函数零点个数（点击进入）
不等式证明（本文内容）

积分不等式证明：

从市面上常见题册中总结了证明积分不等式的七种常见的方法。汇总如下：

下面主要围绕这七种方法进行最全面的讲解，让同学们全方位搞懂这几个方法。

1.构造函数用单调性做

使用场景：
题目中有单调字眼，或者有 f ′ ( x ) ＞ 0 f'(x) ＞0 f′(x)＞0（或 ＜ 0 ＜0 ＜0）时考虑使用

解题步骤：
a.将所证不等式进行移项，并设其中一个字母为 x ，进而构造函数。(注意 x 的范围)
b.将构造的函数进行求导，得到其单调性。(其中有可能会用到中值定理)
c.求解出 x 处于某一范围时，函数的最值，最后变形即证明完成。

例题讲解：
以下面例题为例详细讲解该方法：

设函数时一定要注意函数的定义域。这两道题都是设b为x(当然，如果你想设a为x也是可以的)，所以由 b ≥ a b\geq a b≥a 得 x ≥ a x\geq a x≥a 。

2.构造二重积分

使用场景：
证明式子中有两函数相乘的积分，且这两个函数在积分区域都是单调时，考虑用该方法。

解题步骤：
设所证明的不等式中含有 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx ∫ab​f(x)g(x)dx
a.构造式子： [ f ( x ) − f ( y ) ] [ g ( x ) − g ( y ) ] [f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] [f(x)−f(y)][g(x)−g(y)] (利用单调性判断这个式子和0之间的大小关系)
b.积分：在区域 D = { ( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b , a ≤ y ≤ b } D=\left\{ (x,y)|a\leq x\leq b, a\leq y \leq b\right\} D={ (x,y)∣a≤x≤b,a≤y≤b} 上积分
c.化简得证

例题讲解：
用下面例题详细讲解该方法：

3.利用图像解决

使用场景：
题目条件中有 f ( x ) , f ′ ′ ( x ) f(x),f''(x) f(x),f