数字信号处理第五次试验：FIR数字滤波器设计与软件实现

前言

为了帮助同学们完成痛苦的实验课程设计，本作者将其作出的实验结果及代码贴至CSDN中，供同学们学习参考。如有不足或描述不完善之处，敬请各位指出，欢迎各位的斧正！

一、实验目的

（1）掌握用窗函数法设计FIR数字滤波器的原理和方法。
（2）掌握用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器的原理和方法。
（3）掌握FIR滤波器的快速卷积实现原理。
（4）学会调用MATLAB函数设计与实现FIR滤波器。

二、实验原理与方法

（1）认真复习第七章中用窗函数法和等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器的原理；
（2）调用信号产生函数xtg产生具有加性噪声的信号xt，并自动显示xt及其频谱，如图所示；

（3）请设计低通滤波器，从高频噪声中提取xt中的单频调幅信号，要求信号幅频失真小于0.1dB，将噪声频谱衰减60dB。先观察xt的频谱，确定滤波器指标参数。
（4）根据滤波器指标选择合适的窗函数，计算窗函数的长度N，调用MATLAB 函fir1设计一个FIR低通滤波器。并编写程序，调用MATLAB快速卷积函数fftfilt实现对xt的滤波。绘图显示滤波器的频响特性曲线、滤波器输出信号的幅频特性图和时域波形图。
（4）重复（3），滤波器指标不变，但改用等波纹最佳逼近法，调用MATLAB函数remezord和remez 设计FIR数字滤波器。并比较两种设计方法设计的滤波器阶数。
提示：
①MATLAB函数fir1和fftfilt的功能及其调用格式请查阅help；
②采样频率Fs=1000Hz，采样周期T=1/Fs；
③根据图和实验要求，可选择滤波器指标参数：通带截止频率fp=120Hz，阻带截至频率fs=150Hz，换算成数字频率，通带截止频率 ω p = 2 π f p T \omega_p=2\pi f_pT ωp​=2πfp​T，通带最大衰为0.1dB，阻带截至频率 ω s = 2 π f s T = 0.3 π \omega_s=2\pi f_sT=0.3\pi ωs​=2πfs​T=0.3π，阻带最小衰为60dB。
④实验程序框图如图所示，供读者参考。

三、实验环境

Matlab 7.0及Matlab 2018b

四、实验内容及步骤

滤波器参数及实验程序清单
1、滤波器参数选取
根据5.1节实验指导的提示③选择滤波器指标参数：通带截止频率fp=120Hz，阻带截至频率fs=150Hz。代入采样频率Fs=1000Hz，换算成数字频率，通带截止频率 ω p = 2 π f p T \omega_p=2\pi f_pT ωp​=2πfp​T，通带最大衰为0.1dB，阻带截至频率 ω s = 2 π f s T = 0.3 π \omega_s=2\pi f_sT=0.3\pi ωs​=2πfs​T=0.3π，阻带最小衰为60dB。所以选取blackman窗函数。与信号产生函数xtg相同，采样频率Fs=1000Hz。
2、实验程序清单

%FIR数字滤波器设计及软件实现
clear;close all;
%==调用xtg产生信号x,xt长度N=1000,并显示xt及其频谱=====
N=1000;xt=xtg(N);
fp=120;fs=150;Rp=0.2;As=60;Fs=1000;T=1/Fs%输入给定指标
%(1)用窗函数法设计滤波器
wc=(fp+fs)/Fs;%理想低通滤波器截止频率(关于pi归一化)
B=2*pi*(fs-fp)/Fs;%过渡带宽度指标
Nb=ceil(11*pi/B);%blackman窗的长度N
hn=fir1(Nb-1,wc,blackman(Nb));
Hw=abs(fft(hn,1024));%求设计的滤波器频率特性
ywt=fftfilt(hn,xt,N);%调用函数fftfilt对xt滤波
%以下为用窗函数法设计法的绘图部分
subplot(2,1,1);
myplot(hn,1);title('(a)低通滤波器幅频特性');
subplot(2,1,2);
yt='y_w(t)'; tplot(ywt,T,yt);
title('(b)滤除噪声后的声音波形')
%(2)用等波纹最佳逼近法设计滤波器
fb=[fp,fs];m=[1,0];%确定remezord函数所需参数f,m,dev
dev=[(10^(Rp/20)-1)/(10^(Rp/20)+1),10^(-As/20)];
[Ne,fo,mo,W]=remezord(fb,m,dev,Fs);%确定remez函数所需参数
hn=remez(Ne,fo,mo,W);%调用remez函数进行设计
Hw=abs(fft(hn,1024));%求设计的滤波器频率特性
yet=fftfilt(hn,xt,N);%调用函数ftfilt对xt滤波
%以下为用等波纹设计法的绘图部分
subplot(2,1,1);
myplot(hn,1);title('(c)低通滤波器幅频特性');
subplot(2,1,2);
yt='y_w(t)'; tplot(ywt,T,yt);
title('(d)滤除噪声后的声音波形')

function xt=xtg(N)
%实验五信号x(t)产生,并显示信号的幅频特性曲线
%xt=xtg(N)产生一个长度为N,有加性高频噪声的单频调幅信号xt,采样频率Fs=1000Hz
%载波频率f允=Fs/10=100Hz,调制正弦波频率f0=fc/10=10Hz.
Fs=1000;T=1/Fs;Tp=N*T;
t=0:T:(N-1)*T;
fc=Fs/10;f0=fc/10;%载波频率fc=Fs/10,单频调制信号频率为f0=Fc/10;
mt=cos(2*pi*f0*t);%产生单频正弦波调制信号mt,频率为f0
ct=cos(2*pi*fc*t);%产生载波正弦波信号ct,频率为fe
xt=mt.*ct;%相乘产生单频调制信号xt
nt=2*rand(1,N)-1;%产生随机噪声nt
%——设计高通滤波器hn,用于滤除噪声nt 中的低频成分,生成高通噪声==
fp=150;fs=200;Rp=0.1;As=70;%滤波器指标
fb=[fp,fs];m=[0,1];%计算remezord函数所需参数fm,dev
dev=[10^(-As/20),(10^(Rp/20)-1)/(10^(Rp/20)+1)];
[n,fo,mo,W]=remezord(fb,m,dev,Fs);%确定remez函数所需参数
hn=remez(n,fo,mo,W);%调用remez函数进行设计,用于滤除噪声nt中的低频成分
yt=filter(hn,1,10*nt);%滤除随机噪声中低频成分,生成高通噪声yt
xt=xt+yt;%噪声加信号
fst=fft(xt,N);k=0:N-1;f=k/Tp;
subplot(3,1,1);plot(t,xt);grid;xlabel('t/s');ylabel('x(t)');
axis([0,Tp/5,min(xt),max(xt)]);title('(c)信号加噪声波形')
subplot(3,1,2);plot(f,abs(fst)/max(abs(fst)));grid;title('(d)信号加噪声的频谱')
axis([0,Fs/2,0,1.2]);xlabel('f/Hz');ylabel('幅度');

function tplot(xn,T,yn)
n=0:length(xn)-1;
t=n*T;
plot(t,xn);
xlabel('t/s');
ylabel('y_e(t)');
axis([0,0.5,min(xn),1.2*max(xn)]);

function myplot(B,A)
[H,W]=freqz(B,A,1000);
m=abs(H);
plot(W/pi*500,20*log10(m/max(m)));
grid on;
xlabel('f/Hz');
ylabel('幅度(dB)')
axis([0,500,-80,10]);
title('损耗函数曲线');

五、实验结果截图（含分析）

实验程序运行结果
用窗函数法设计滤波器，滤波器长度Nb=184。滤波器损耗函数和滤波器输出 yw(nT)分别如图所示。
用等波纹最佳逼近法设计滤波器，滤波器长度Ne=83。滤波器损耗函数和滤波器输出ye(nT)分别如图所示。
两种方法设计的滤波器都能有效地从噪声中提取信号，但等波纹最佳逼近法设计的滤波器阶数低得多，当然滤波实现的运算量以及时延也小得多，从图可以直观地看出时延差别。

六、思考题

(1)如果给定通带截止频率和阻带截止频率以及阻带最小衰减,如何用窗函数法设计线性相位低通滤波器?请写出设计步骤。
(2)如果要求用窗函数法设计带通滤波器,且给定通带上、下截止频率为 ω p l \omega_{pl} ωpl​和 ω p u \omega_{pu} ωpu​，阻带上、下截止频率为 ω s l \omega_{sl} ωsl​和 ω s u \omega_{su} ωsu​，试求理想带通滤波器的截止频率 ω c l \omega_{cl} ωcl​和 ω c u \omega_{cu} ωcu​。
（3）解释为什么对同样的技术指标，用等波纹最佳逼近法设计的滤波器阶数低？
答：(1)用窗函数法设计线性相位低通滤波器的设计步骤教材中有详细的介绍。
(2)希望逼近的理想带通滤波器的截止频率 ω c l \omega_{cl} ωcl​和 ω c u \omega_{cu} ωcu​分别为：

（3）解释为什么对同样的技术指标，用等波纹最佳逼近法设计的滤波器阶数低？
①用窗函数法设计的滤波器，如果在阻带截止频率附近刚好满足，则离开阻带截止频率越远，阻带衰减富裕量越大，即存在资源浪费；
② 几种常用的典型窗函数的通带最大衰减和阻带最小衰减固定，且差别较大，又不能分别控制。所以设计的滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减通常都存在较大富裕。如本实验所选的blackman窗函数，其阻带最小衰减为74dB,而指标仅为60dB。
③ 用等波纹最佳逼近法设计的滤波器，其通带和阻带均为等波纹特性，且通带最大衰减和阻带最小衰减可以分别控制，所以其指标均匀分布，没有资源浪费，所以期阶数低得多。