【复变函数】常用公式大全

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#基本公式

f ( z ) = u + v i   f ( z ) 是 一 个 向 量 场 ， 记 为 H ， 取 其 共 轭 H ‾   若 该 共 轭 向 量 场 满 足 C − R 方 程 ( 无 散 无 旋 ) ：   ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ， 即 ∇ ⋅ H ‾ = ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y = 0   ∂ v ∂ x = − ∂ u ∂ y ， 即 ∇ × H ‾ = − ( ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x ) = 0   ∂ u ∂ r = 1 r ∂ v ∂ θ   ,   ∂ v ∂ r = − 1 r ∂ u ∂ θ   则 f 为 解 析 函 数   若 ∇ 2 u = 0 , ∇ 2 v = 0 , 且 满 足 C R 方 程 ， 则 f 为 解 析 函 数   对 于 u ， − v 分 量 ， 其 梯 度 的 散 度 为 零 ， 也 就 是 无 极 值 ， 就 是 调 和 f(z)=u+vi\\\ \\ f(z)是一个向量场，记为H，取其共轭\overline{H}\\\ \\ 若该共轭向量场满足C-R方程(无散无旋)：\\\ \\ \frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y} ，即\nabla\cdot\overline{H}=\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=0 \\\ \\ \frac{\partial v}{\partial x}= -\frac{\partial u}{\partial y}，即\nabla\times\overline{H}=-(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})=0 \\\ \\ \frac{\partial u}{\partial r}= \frac 1 r \frac{\partial v}{\partial \theta}\space, \space\frac{\partial v}{\partial r}= -\frac 1 r \frac{\partial u}{\partial \theta}\\\ \\ 则f为解析函数\\\ \\ 若\nabla^2u=0,\nabla^2v=0,且满足CR方程，则f为解析函数\\\ \\ 对于u，-v分量，其梯度的散度为零，也就是无极值，就是调和 f(z)=u+vi f(z)是一个向量场，记为H，取其共轭H 若该共轭向量场满足C−R方程(无散无旋)： ∂x∂u​=∂y∂v​，即∇⋅H=∂x∂u​−∂y∂v​=0 ∂x∂v​=−∂y∂u​，即∇×H=−(∂y∂u​+∂x∂v​)=0 ∂r∂u​=r1​∂θ∂v​ , ∂r∂v​=−r1​∂θ∂u​ 则f为解析函数 若∇2u=0,∇2v=0,且满足CR方程，则f为解析函数 对于u，−v分量，其梯度的散度为零，也就是无极值，就是调和

常 数 ， P n ( z ) ， P n ( z ) P m ( z ) 解 析 常数，P_n(z)，\frac{P_n(z)}{P_m(z)} 解析 常数，Pn​(z)，Pm​(z)Pn​(z)​解析

指 数 函 数 ： e z = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) ， 单 叶 ， 有 反 函 数   对 数 函 数 ： L n ( z ) = l n ∣ z ∣ + i A r g z ， L n k ( z ) = l n ∣ z ∣ + i ( a r g z + 2 k π )   l n z = l n ∣ z ∣ + i a r g z ， l n k z = l n z + i ⋅ 2 k π   三 角 函 数 ： sin ⁡ z = e i z − e − i z 2 i ， cos ⁡ z = e i z + e − i z 2   双 曲 函 数 ： sinh ⁡ z = e z − e − z 2 ， cosh ⁡ z = e z + e − z 2   cosh ⁡ 2 z − sinh ⁡ 2 z = 1 ， ( sinh ⁡ z ) ′ = cosh ⁡ z ， ( cosh ⁡ z ) ′ = sinh ⁡ z   sinh ⁡ ( z 1 + z 2 ) = sinh ⁡ z 1 cosh ⁡ z 2 + cosh ⁡ z 1 sinh ⁡ z 2   sinh ⁡ ( z 1 + z 2 ) = cosh ⁡ z 1 cosh ⁡ z 2 + sinh ⁡ z 1 sinh ⁡ z 2   幂 函 数 ： w = e a L n ( z )   反 三 角 函 数 ：   arctan ⁡ z = 1 2 i L n ( 1 + i z 1 − i z )   arcsin ⁡ z = − i L n ( i z + 1 − z 2 )   arccos ⁡ z = − i L n ( i z + i 1 − z 2 )   指数函数：e^z=e^x(\cos y+i\sin y)，单叶，有反函数\\\ \\ 对数函数：Ln(z)=ln|z|+i Argz，Ln_k(z)=ln|z|+i(argz+2k\pi)\\\ \\ lnz=ln|z|+iargz，ln_kz=lnz+i\cdot 2k\pi\\\ \\ 三角函数：\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}， \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\\\ \\ 双曲函数：\sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}， \cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\\\ \\ \cosh^2z-\sinh^2z=1，(\sinh z)'=\cosh z，(\cosh z)'=\sinh z\\\ \\ \sinh(z_1+z_2)=\sinh z_1\cosh z_2+\cosh z_1 \sinh z_2\\\ \\ \sinh(z_1+z_2)=\cosh z_1\cosh z_2+\sinh z_1 \sinh z_2\\\ \\ 幂函数：w=e^{aLn(z)}\\\ \\ 反三角函数：\\\ \\ \arctan z=\frac{1}{2i}Ln(\frac{1+iz}{1-iz})\\\ \\ \arcsin z=-iLn(iz+\sqrt{1-z^2})\\\ \\ \arccos z=-iLn(iz+i\sqrt{1-z^2})\\\ \\ 指数函数：ez=ex(cosy+isiny)，单叶，有反函数 对数函数：Ln(z)=ln∣z∣+iArgz，Lnk​(z)=ln∣z∣+i(argz+2kπ) lnz=ln∣z∣+iargz，lnk​z=lnz+i⋅2kπ 三角函数：sinz=2ieiz−e−iz​，cosz=2eiz+e−iz​ 双曲函数：sinhz=2ez−e−z​，coshz=2ez+e−z​ cosh2z−sinh2z=1，(sinhz)′=coshz，(coshz)′=sinhz sinh(z1​+z2​)=sinhz1​coshz2​+coshz1​sinhz2​ sinh(z1​+z2​)=coshz1​coshz2​+sinhz1​sinhz2​ 幂函数：w=eaLn(z) 反三角函数： arctanz=2i1​Ln(1−iz1+iz​) arcsinz=−iLn(iz+1−z2 ​) arccosz=−iLn(iz+i1−z2 ​) 

∫ c f ( z ) d z = ∫ c u d x − v d y + i ∫ c v d x + u d y = ∫ α β f [ z ( t ) ] z ′ ( t ) d t \int_cf(z)dz=\int_c udx-vdy+i\int_cvdx+udy=\int_\alpha^\beta f[z(t)]z'(t)dt ∫c​f(z)dz=∫c​udx−vdy+i∫c​vdx+udy=∫αβ​f[z(t)]z′(t)dt
∫ ∣ z − z 0 ∣ = ρ d z ( z − z 0 ) n = { 2 π i , n = 1 0 , o t h e r w i s e \int_{|z-z_0|=\rho} \frac{dz}{(z-z_0)^n}=\begin{cases} 2\pi i, & n=1\\ 0, & otherwise \end{cases} ∫∣z−z0​∣=ρ​(z−z0​)ndz​={2πi,0,​n=1otherwise​
f ( z ) 在 D 内 连 续 { ∫ c f ( z ) d z 在 D 内 与 路 径 无 关 （ 无 旋 、 保 守 ） ∮ c f ( z ) d z = 0 有 F ( z ) ， 使 得 f ( z ) = F ′ ( z )   ∫ c f ( z ) d z = F ( z 2 ) − F ( z 1 ) ， F 为 矢 量 场 f 的 势 场 f(z)在D内连续\left \{ \begin{array}{c} \int_cf(z)dz在D内与路径无关（无旋、保守） \\ \oint_cf(z)dz=0 \\ 有F(z)，使得f(z)=F'(z) \end{array} \right. \\\ \\ \int_cf(z)dz=F(z_2)-F(z_1)，F为矢量场f的势场 f(z)在D内连续⎩⎨⎧​∫c​f(z)dz在D内与路径无关（无旋、保守）∮c​f(z)dz=0有F(z)，使得f(z)=F′(z)​ ∫c​f(z)dz=F(z2​)−F(z1​)，F为矢量场f的势场

#几个高斯的公式(其实都是留数法)

G a u s s 积 分 定 理 ：   { ∫ ∂ D f ( z ) d z = 0 ∂ D 为 D 的 正 向 边 界 ∮ c f ( z ) d z = 0 c ∈ D   G a u s s 积 分 公 式 ：   f ( z 0 ) = 1 2 π i ∫ ∂ D f ( z ) z − z 0 d z   f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ   G a u s s 高 阶 导 数 公 式 ：   f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∫ ∂ D f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z   Gauss积分定理：\\\ \\ \left \{ \begin{array}{c} \int_{\partial D}f(z)dz=0 & \partial D 为D的正向边界 \\ \oint_cf(z)dz=0 & c \in D \end{array} \right.\\\ \\ Gauss积分公式：\\\ \\ f(z_0)=\frac 1 {2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(z)}{z-z_0}dz\\\ \\ f(z_0)=\frac 1 {2 \pi} \int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\theta})d\theta\\\ \\ Gauss高阶导数公式：\\\ \\ f^{(n)}(z_0)=\frac {n!} {2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\\\ \\ Gauss积分定理： {∫∂D​f(z)dz=0∮c​f(z)dz=0​∂D为D的正向边界c∈D​ Gauss积分公式： f(z0​)=2πi1​∫∂D​z−z0​f(z)​dz f(z0​)=2π1​∫02π​f(z0​+Reiθ)dθ Gauss高阶导数公式： f(n)(z0​)=2πin!​∫∂D​(z−z0​)n+1f(z)​dz 

#留数法

f ( z ) 在 D 内 除 了 有 限 个 奇 点 外 处 处 解 析 ， c 是 D 内 包 围 若 干 奇 点 的 无 交 叉 正 向 闭 曲 线 ， 则 有   ∫ c f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n R e s [ f ( z ) , z k ]   计 算 规 则 ：   1. 如 果 z 0 为 f ( z ) 的 一 级 极 点 ， 那 么 R e s [ f ( z ) , z 0 ] = lim ⁡ z → z 0 ( z − z 0 ) f ( z )   2. 如 果 z 0 为 f ( z ) 的 m 级 极 点 ， 那 么   R e s [ f ( z ) , z 0 ] = 1 ( m − 1 ) ! lim ⁡ z → z 0 d m − 1 d z m − 1 ( ( z − z 0 ) m f ( z ) )   3. 设 f ( z ) = P ( z ) Q ( z ) , P ( z ) 、 Q ( z ) 在 z 0 都 解 析 ，   如 果 P ( z 0 ) ≠ 0 , Q ( z 0 ) = 0 , Q ′ ( z 0 ) ≠ 0 , z 0 为 f ( z ) 的 一 级 极 点   R e s [ f ( z ) , z 0 ] = P ( z 0 ) Q ′ ( z 0 )   4. 如 果 f ( z ) 在 扩 充 复 平 面 内 有 有 限 个 孤 立 奇 点 ，   那 么 f ( z ) 在 所 有 奇 点 （ 包 括 无 穷 远 点 ） 的 留 数 和 为 0 f(z)在D内除了有限个奇点外处处解析，c是D内包围若干奇点的无交叉正向闭曲线，则有\\\ \\ \int_cf(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^n Res[f(z), z_k]\\\ \\ 计算规则：\\\ \\ 1.如果z_0为f(z)的一级极点，那么Res[f(z), z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)\\\ \\ 2.如果z_0为f(z)的m级极点，那么\\\ \\ Res[f(z), z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}((z-z_0)^mf(z))\\\ \\ 3.设f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},P(z)、Q(z)在z_0都解析，\\\ \\如果P(z_0)\ne 0,Q(z_0)=0,Q'(z_0)\ne0,z_0为f(z) 的一级极点\\\ \\ Res[f(z), z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}\\\ \\ 4.如果f(z)在扩充复平面内有有限个孤立奇点，\\\ \\那么f(z)在所有奇点（包括无穷远点）的留数和为0 f(z)在D内除了有限个奇点外处处解析，c是D内包围若干奇点的无交叉正向闭曲线，则有 ∫c​f(z)dz=2πik=1∑n​Res[f(z),zk​] 计算规则： 1.如果z0​为f(z)的一级极点，那么Res[f(z),z0​]=z→z0​lim​(z−z0​)f(z) 2.如果z0​为f(z)的m级极点，那么 Res[f(z),z0​]=(m−1)!1​z→z0​lim​dzm−1dm−1​((z−z0​)mf(z)) 3.设f(z)=Q(z)P(z)​,P(z)、Q(z)在z0​都解析， 如果P(z0​)​=0,Q(z0​)=0,Q′(z0​)​=0,z0​为f(z)的一级极点 Res[f(z),z0​]=Q′(z0​)P(z0​)​ 4.如果f(z)在扩充复平面内有有限个孤立奇点， 那么f(z)在所有奇点（包括无穷远点）的留数和为0

#一些公式

1 z 2 + 1 = 1 2 i ( 1 z − i − 1 z + i )   ( z 2 + 1 ) 2 = ( z + i ) 2 ( z − i ) 2   a + b i = i ( b − a i )   cos ⁡ , sin ⁡ 都 只 有 单 零 点   cosh ⁡ z = cos ⁡ i z ； sinh ⁡ z = 1 i sin ⁡ i z   cos ⁡ 2 θ = 1 2 ( z 2 + 1 z 2 )   cos ⁡ ( n π ) = ( − 1 ) n ； sin ⁡ ( n π + π 2 ) = ( − 1 ) n   cos ⁡ ( n ) x = cos ⁡ ( x + n π 2 ) ； sin ⁡ ( n ) x = sin ⁡ ( x + n π 2 )   cos ⁡ ( π 2 + x ) = − sin ⁡ x 唯 一 负 号 \frac{1}{z^2+1}=\frac 1 {2i}(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i})\\\ \\ (z^2+1)^2=(z+i)^2(z-i)^2\\\ \\ a+bi=i(b-ai)\\\ \\ \cos, \sin都只有单零点\\\ \\ \cosh z=\cos iz；\sinh z=\frac 1 i \sin iz\\\ \\ \cos 2\theta=\frac 1 2 (z^2+\frac 1 {z^2})\\\ \\ \cos (n\pi)=(-1)^n；\sin (n\pi+\frac \pi 2)=(-1)^n\\\ \\ \cos^{(n)} x=\cos(x+\frac{n\pi}{2})；\sin^{(n)} x=\sin(x+\frac{n\pi}{2})\\\ \\ \cos(\frac \pi 2+x)=-\sin x唯一负号 z2+11​=2i1​(z−i1​−z+i1​) (z2+1)2=(z+i)2(z−i)2 a+bi=i(b−ai) cos,sin都只有单零点 coshz=cosiz；sinhz=i1​siniz cos2θ=21​(z2+z21​) cos(nπ)=(−1)n；sin(nπ+2π​)=(−1)n cos(n)x=cos(x+2nπ​)；sin(n)x=sin(x+2nπ​) cos(2π​+x)=−sinx唯一负号

#一些积分

1. 对 于 ： ∫ 0 2 π R ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ) d θ ， cos ⁡ θ = z 2 + 1 2 z ， sin ⁡ θ = z 2 − 1 2 i z ， d z = i z d θ   1.对于：\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)d\theta，\\\cos\theta=\frac{z^2+1}{2z}，\sin\theta=\frac{z^2-1}{2iz}，dz=izd\theta\\\ \\ 1.对于：∫02π​R(cosθ,sinθ)dθ，cosθ=2zz2+1​，sinθ=2izz2−1​，dz=izdθ 
2. 对 于 ： ∫ − ∞ + ∞ P ( z ) Q ( z ) d x ， Q 无 实 零 点 ， Q 比 P 高 至 少 两 次 ， 则   ∫ − ∞ + ∞ P ( z ) Q ( z ) d x = 2 π i ∑ 上 半 平 面 内 奇 点 R e s [ f ( z ) , z k ]   2.对于：\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}dx，\\Q无实零点，Q比P高至少两次，则\\\ \\ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}dx=2\pi i\sum_{上半平面内奇点} Res[f(z), z_k]\\\ \\ 2.对于：∫−∞+∞​Q(z)P(z)​dx，Q无实零点，Q比P高至少两次，则 ∫−∞+∞​Q(z)P(z)​dx=2πi上半平面内奇点∑​Res[f(z),zk​] 
3. 对 于 ： ∫ − ∞ + ∞ P ( z ) Q ( z ) e i a x d x ， a 非 0 ， Q 无 实 零 点 ， Q 比 P 至 少 高 一 次   ∫ − ∞ + ∞ P ( z ) Q ( z ) e i a x d x = { 2 π i ∑ 上 半 平 面 内 奇 点 R e s [ f ( z ) , z k ] a > 0   ( ∫ − ∞ + ∞ P ( z ) Q ( z ) e i ∣ a ∣ x d x ) ‾ a < 0 3.对于：\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}e^{iax}dx，\\ a非0，Q无实零点，Q比P至少高一次\\\ \\ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}e^{iax}dx= \begin{cases} 2\pi i\sum_{上半平面内奇点} Res[f(z), z_k] & a>0\\\ \\ \overline{(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(z)}{Q(z)}e^{i|a|x}dx)}&a<0 \end{cases} 3.对于：∫−∞+∞​Q(z)P(z)​eiaxdx，a非0，Q无实零点，Q比P至少高一次 ∫−∞+∞​Q(z)P(z)​eiaxdx=⎩⎪⎨⎪⎧​2πi∑上半平面内奇点​Res[f(z),zk​] (∫−∞+∞​Q(z)P(z)​ei∣a∣xdx)​​a>0a<0​

E u l e r − P o i s s o n 积 分 ： ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = π 2   L a p l a c e 积 分 ： ∫ 0 + ∞ cos ⁡ a x 1 + x 2 d x ( a > 0 ) = π 2 e − a   D i r i c h l e t 积 分 ： ∫ 0 + ∞ sin ⁡ x x d x = π 2   P o i s s o n 积 分 ： ∫ 0 + ∞ e − x 2 cos ⁡ ( 2 b x ) d x = π 2 e − b 2   F r e s n e l 积 分 ： ∫ 0 + ∞ cos ⁡ ( x 2 ) d x = ∫ 0 + ∞ sin ⁡ ( x 2 ) d x = 2 π 4 Euler-Poisson积分： \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}} 2\\\ \\ Laplace积分：\int_0^{+\infty}\frac{\cos ax}{1+x^2}dx(a>0)=\frac \pi 2 e^{-a}\\\ \\ Dirichlet积分：\int_0^{+\infty}\frac{\sin x} xdx=\frac \pi 2\\\ \\ Poisson积分：\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\cos( 2bx) dx=\frac{\sqrt{\pi}} 2e^{-b^2}\\\ \\ Fresnel积分：\int_0^{+\infty}\cos(x^2)dx=\int_0^{+\infty}\sin(x^2)dx=\frac{\sqrt{2\pi}} 4 Euler−Poisson积分：∫0+∞​e−x2dx=2π ​​ Laplace积分：∫0+∞​1+x2cosax​dx(a>0)=2π​e−a Dirichlet积分：∫0+∞​xsinx​dx=2π​ Poisson积分：∫0+∞​e−x2cos(2bx)dx=2π ​​e−b2 Fresnel积分：∫0+∞​cos(x2)dx=∫0+∞​sin(x2)dx=42π ​​