如何解构 SNat（单例）

我正在 Haskell 中试验依赖类型，并在paper“单身人士”包的：

replicate2 :: forall n a. SingI n => a -> Vec a n
replicate2 a = case (sing :: Sing n) of
  SZero -> VNil
  SSucc _ -> VCons a (replicate2 a)

所以我尝试自己实现这个，只是为了感受一下它是如何工作的：

{-# LANGUAGE DataKinds           #-}
{-# LANGUAGE GADTs               #-}
{-# LANGUAGE KindSignatures      #-}
{-# LANGUAGE TypeOperators       #-}
{-# LANGUAGE RankNTypes          #-}
{-# LANGUAGE ScopedTypeVariables #-}

import           Data.Singletons
import           Data.Singletons.Prelude
import           Data.Singletons.TypeLits

data V :: Nat -> * -> * where
  Nil  :: V 0 a
  (:>) :: a -> V n a -> V (n :+ 1) a

infixr 5 :>

replicateV :: SingI n => a -> V n a
replicateV = replicateV' sing
  where replicateV' :: Sing n -> a -> V n a
        replicateV' sn a = case sn of
            SNat -> undefined -- what can I do with this?

现在的问题是Sing实例为Nat不具有SZero or SSucc。只有一个构造函数称为SNat.

> :info Sing
data instance Sing n where
  SNat :: KnownNat n => Sing n

这与其他允许匹配的单例不同，例如STrue and SFalse，例如下面的（无用的）示例：

data Foo :: Bool -> * -> * where
  T :: a -> Foo True a
  F :: a -> Foo False a

foo :: forall a b. SingI b => a -> Foo b a
foo a = case (sing :: Sing b) of
  STrue -> T a
  SFalse -> F a

您可以使用fromSing获取基本类型，但这当然允许 GHC 检查输出向量的类型：

-- does not typecheck
replicateV2 :: SingI n => a -> V n a
replicateV2 = replicateV' sing
  where replicateV' :: Sing n -> a -> V n a
        replicateV' sn a = case fromSing sn of
              0 -> Nil
              n -> a :> replicateV2 a

所以我的问题是：如何实施replicateV?

EDIT

erisco 给出的答案解释了为什么我解构一个SNat不起作用。但即使有type-natural图书馆，我无法实施replicateV为了V数据类型使用GHC的内置Nat types.

例如下面的代码可以编译：

replicateV :: SingI n => a -> V n a
replicateV = replicateV' sing
  where replicateV' :: Sing n -> a -> V n a
        replicateV' sn a = case TN.sToPeano sn of
            TN.SZ       -> undefined
            (TN.SS sn') -> undefined

但这似乎没有为编译器提供足够的信息来推断是否n is 0或不。例如，以下给出了编译器错误：

replicateV :: SingI n => a -> V n a
replicateV = replicateV' sing
  where replicateV' :: Sing n -> a -> V n a
        replicateV' sn a = case TN.sToPeano sn of
            TN.SZ       -> Nil
            (TN.SS sn') -> undefined

这会产生以下错误：

src/Vec.hs:25:28: error:
    • Could not deduce: n1 ~ 0
      from the context: TN.ToPeano n1 ~ 'TN.Z
        bound by a pattern with constructor:
                   TN.SZ :: forall (z0 :: TN.Nat). z0 ~ 'TN.Z => Sing z0,
                 in a case alternative
        at src/Vec.hs:25:13-17
      ‘n1’ is a rigid type variable bound by
        the type signature for:
          replicateV' :: forall (n1 :: Nat) a1. Sing n1 -> a1 -> V n1 a1
        at src/Vec.hs:23:24
      Expected type: V n1 a1
        Actual type: V 0 a1
    • In the expression: Nil
      In a case alternative: TN.SZ -> Nil
      In the expression:
        case TN.sToPeano sn of {
          TN.SZ -> Nil
          (TN.SS sn') -> undefined }
    • Relevant bindings include
        sn :: Sing n1 (bound at src/Vec.hs:24:21)
        replicateV' :: Sing n1 -> a1 -> V n1 a1 (bound at src/Vec.hs:24:9)

所以，我原来的问题仍然存在，我仍然无法做任何有用的事情SNat.

这里有两个自然概念在起作用。一种是“字面自然数”（即 0、1、2 等），另一种是“皮亚诺自然数”（即 Z、S Z、S (S Z) 等）。这篇论文使用的显然是皮亚诺自然色，但单身人士使用的却是字面上的自然色。

值得庆幸的是，还有另一个包叫自然类型它定义了皮亚诺自然物以及转换为字面自然数 and 从字面自然数转换.