四元数是非常相似旋转的翻转符号？

考虑以下最小工作示例：

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <eigen3/Eigen/Dense>

int main() {
  // Set the rotation matrices that give an example of the problem
  Eigen::Matrix3d rotation_matrix_1, rotation_matrix_2;
  rotation_matrix_1 << 0.15240781108708346, -0.98618841818279246, -0.064840288106743013,
                       -0.98826031445019891, -0.1527775600229907, 0.00075368177315370682,
                       -0.0106494132438156, 0.063964216524108775, -0.99789536976680049;
  rotation_matrix_2 << -0.12448670851248633, -0.98805453458380521, -0.090836645094957508,
                       -0.99167686914182451, 0.12086367053038971, 0.044372968742129482,
                       -0.03286406263376359, 0.095604444636749664, -0.99487674792051639;

  // Convert to Euler angles
  Eigen::Vector3d euler_angles_1 = rotation_matrix_1.eulerAngles(2, 1, 0)*180.0f/M_PI;
  Eigen::Vector3d euler_angles_2 = rotation_matrix_2.eulerAngles(2, 1, 0)*180.0f/M_PI;

  // Convert to quaternion
  Eigen::Quaternion<double> quaternion_1(rotation_matrix_1);
  Eigen::Quaternion<double> quaternion_2(rotation_matrix_2);

  // Print out results
  std::cout << "Euler angles 1:\nyaw = " << euler_angles_1[0] << "\npitch = " << euler_angles_1[1] << "\nroll = " << euler_angles_1[2] << std::endl;
  std::cout << "Quaternion 1:\nw = " << quaternion_1.w() << "\nx = " << quaternion_1.x() << "\ny = " << quaternion_1.y() << "\nz = " << quaternion_1.z() << std::endl;
  std::cout << std::endl;
  std::cout << "Euler angles 2:\nyaw = " << euler_angles_2[0] << "\npitch = " << euler_angles_2[1] << "\nroll = " << euler_angles_2[2] << std::endl;
  std::cout << "Quaternion 2:\nw = " << quaternion_2.w() << "\nx = " << quaternion_2.x() << "\ny = " << quaternion_2.y() << "\nz = " << quaternion_2.z() << std::endl;
}

其输出是：

Euler angles 1:
yaw = 98.767
pitch = 179.39
roll = -3.66759
Quaternion 1:
w = 0.020826
x = 0.758795
y = -0.650521
z = -0.0248716

Euler angles 2:
yaw = 82.845
pitch = 178.117
roll = -5.48908
Quaternion 2:
w = -0.0193663
x = -0.661348
y = 0.748369
z = 0.0467608

两种旋转几乎相同（由欧拉角给出）。预期的行为是quaternion_2将具有与相同符号的值quaternion_1，即输出为：

Quaternion 2:
w = 0.0193663
x = 0.661348
y = -0.748369
z = -0.0467608

然而，Eigen 似乎“翻转”了四元数。我知道 q 和 -q 代表相同的旋转 - 然而，四元数会翻转其每个值中的符号，这在视觉上并不吸引人，而且坦白说很烦人。对于一般情况如何纠正这个问题（即四元数始终保留其“旋向性”，而不是在某些旋转时翻转符号）？

当单位四元数用于表示 3d 旋转时，有两种方法来表示每个实际旋转 - 如果不在空间中人为地创建不连续性，则无法避免“负”旋转的发生。

与在单位圆上使用复数的二维旋转不同，单位超球面上距离“0 旋转”最远的点必须是“360 度旋转”，而不是“180 度”；因为需要表示可能有 180 度旋转的 2d 空间，而无论轴如何，所有 360 度旋转都是等效的。

当 w 分量为负时，您始终可以通过更改整个事物的符号来“规范化”。 仍然存在 w = 0 的情况，这些都表示旋转 180 - 例如(0,0,1,0) 和 (0,0,-1,0) 表示相同的旋转。

并且， (0.01, 0.99995,0,0,0) 和 (-0.01, 0.99995,0,0) 表示旋转非常接近，但如果将第二个更改为等效的 (0.01,-0.99995,0,0)那么它们在 4d 向量空间中相距很远。

所以，实际上，当你想找到不同之处两次旋转之间的距离，看看它们有多接近。单独将两者列为正典可能没有帮助； 您通常会根据需要翻转标志以使它们尽可能接近。

或者，比较旋转 q1,q2 ：找到四元数积 q1 * q2.conj();这给出了旋转四元数的差值；如果 w

如果您只想检查它们是否在彼此的特定角度“th”内，则只需要结果的实部。这相当于求 q1,q2 的点积（将它们视为 4 空间中的单位向量），然后检查是否有abs。结果值 >= cos(th/2)。

另一种求相对角度的方法是：求两个单位向量的向量差，并求该差向量的大小“m”（平方和的平方根），其范围在 [0,2] 范围内。然后找到

th = 4*arcsin(m/2)

...这将是 0 ... 2*pi。

在 m > sqrt(2)、th > pi 的情况下，您将得到“错误的一面”结果（而且，当 m 接近 2.0 时，计算的数值精度将非常糟糕）。因此，在这种情况下，更改其中一个符号（即，使 m 为sum输入的值，而不是差值）；然后你将得到 m

For smallm，反正弦公式有泰勒级数

th ~=~ 2*m + (m^3)/12 + ...

因此，对于小增量，相对旋转角度大约是矢量差值的两倍（这在数值上比当 w 接近 1 时使用 w 的反余弦更可靠）。