sin、cos、tan 不准确

为什么sinl当参数接近 pi 的非零倍数时给出不正确的结果？为什么sinl当参数很大时给出不正确的结果？下面的代码说明了这一点。

请注意，用于初始化变量 pi 的数字与任何 64 位长双精度值并不完全匹配。编译器选择最接近的值，即3.14159265358979323851280895940618620443274267017841339111328125。可以使用 libquadmath、gnu MPFR lib 或在线计算器（例如http://www.ttmath.org/online_calculator.

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main (int argc, char *argv [])
    {
    volatile long double pi = 3.14159265358979323846L;
    volatile long double big = 9223372035086174241L;
    volatile long double expected1 = -5.0165576126683320235E-20L;
    volatile long double expected2 = -4.2053336735954077951E-10L;
    double result;
    double ex1 = expected1, ex2 = expected2;

    result = sinl (pi);
    printf("expected: %g, \nreturned: %g\n\n", ex1, result);
    result = sinl (big);
    printf("expected: %g, \nreturned: %g\n\n", ex2, result);
    return 0;
    }

我正在使用 gcc 4.7.3。使用 volatile 可以防止编译器替换sinl()使用硬编码结果进行调用。我的计算机配备 Intel Core i7 处理器并运行 Windows。我将结果打印为 double 而不是 long double，因为我使用的 gcc 的 mingw 端口不支持打印 long double。这是程序输出：

expected: -5.01656e-020,
returned: -5.42101e-020

expected: -4.20533e-010,
returned: -0.011874

该错误可以追溯到 sinl 库代码使用的 fsin 处理器指令。正如英特尔声称的那样，指令 fsin、fcos 和 fptan 并不精确到 1.0 ulp：http://notabs.org/fpuaccuracy/