两条弧线之间的交点？ （弧 = 一对角之间的距离）

我正在尝试找到一种方法来计算两条弧之间的交点。 我需要用它来确定圆弧在视觉上有多少在右半边，有多少在左半边。 我考虑创建右半部分的弧，并将其与实际弧相交。 但我花了很多时间来解决这个问题，所以我想在这里问 - 以前肯定有人做过。

编辑： 很抱歉，当我在处理角度后头太重时，才提供了之前的插图。我会尝试再次解释：

In 这个链接你可以看到我把中间的圆弧切成两半，圆弧的右边部分是135度，左边部分是90度。

该弧从 -180 开始，在 45 结束。（或者如果标准化，则从 180 开始，在 405 结束）。

我已设法创建此代码，以便计算右侧部分和左侧部分中包含的弧度数：

f1 = (angle2>270.0f?270.0f:angle2) - (angle1<90.0f?90.0f:angle1);
if (f1 < 0.0f) f1 = 0.0f;
f2 = (angle2>640.0f?640.0f:angle2) - (angle1<450.0f?450.0f:angle1);
if (f2 < 0.0f) f2 = 0.0f;
f3 = (angle2>90.0f?90.0f:angle2) - angle1;
if (f3<0.0f) f3=0.0f;
f4 = (angle2>450.0f?450.0f:angle2) - (angle1<270.0f?270.0f:angle1); 
if (f4<0.0f) f4=0.0f;

将角度标准化为非负值后效果很好，但当然是从低于 360 度开始。 然后 f1 + f2 给出左半部分的总和，f3 + f4 给出右半部分的总和。 它还没有考虑弧定义为超过 360 的情况，这可能是“错误”情况。

但是，这似乎更像是一种“解决方法”，而不是正确的数学解决方案。 我正在寻找一种更优雅的解决方案，它应该基于两个弧之间的“交集”（因为数学没有“边”，它不是视觉的）；

Thanks!!

我认为这可行，但我还没有彻底测试过。您有 2 条弧，每条弧都有一个起始角和一个终止角。正如您所做的那样，我将从北向顺时针测量的度数进行计算，但与数学家一样，从东向逆时针测量的弧度进行计算也同样容易。

首先“标准化”你的弧，也就是说，减少它们中的所有角度[0,360)，因此取出 360deg 的倍数并使所有角度为 +ve。确保每个圆弧的终止角位于起始角的顺时针方向。

接下来，选择一个弧线的起始角度，无论是哪一个都没关系。将您拥有的所有角度（其中 4 个）按数字顺序排序。如果任何角度在数值上小于您选择的起始角度，请为其添加 360 度。

将角度重新排序为递增的数字顺序。您选择的起始角度将成为新列表中的第一个元素。从您已经选择的起始角度开始，列表中的下一个角度是什么？

1) 如果是同一弧的终止角，则要么没有重叠，要么该弧完全包含在另一弧内。记下并找到下一个角度。如果下一个角度是另一条弧的起始角度，则没有重叠，可以停止；如果它是另一条弧的停止角，则重叠包含整个第一条弧。停止

2) 如果它是另一条弧的起始角度，则重叠从该角度开始。记下这个角度。扫描遇到的下一个角度必须是停止角，重叠在那里结束。停止。

3) 如果是另一个圆弧的终止角度，则重叠包括第一个圆弧的起始角度与该角度之间的角度。停止。

这不是特别优雅，并且比我通常喜欢的更依赖 if，但它应该可以工作并且相对容易翻译成您最喜欢的编程语言。

看，根本没有三角学！

EDIT

这是一种更“数学”的方法，因为您似乎觉得有必要。

对于角度 θ(-pi,pi]双曲正弦函数（通常称为sinh) 将角度映射到区间内实线上的区间（近似）(-11.5,11.5]。不像arcsin and arccos该函数的反函数在同一区间上也是单值的。按着这些次序：

1）如果一条弧包含0，则将其分成2条弧，(start,0) and (0,stop)。现在，实线上有 2、3 或 4 个间隔。

2) 计算这些间隔的交集并将线性测量转换回角度测量。现在您已经有了两条弧线的交点。