传递闭包 Floyd算法

题意：

众所周知，TT 有一只魔法猫。

这一天，TT 正在专心致志地玩《猫和老鼠》游戏，然而比赛还没开始，聪明的魔法猫便告诉了 TT 比赛的最终结果。TT 非常诧异，不仅诧异于他的小猫咪居然会说话，更诧异于这可爱的小不点为何有如此魔力？

魔法猫告诉 TT，它其实拥有一张游戏胜负表，上面有 N 个人以及 M 个胜负关系，每个胜负关系为 A B，表示 A 能胜过 B，且胜负关系具有传递性。即 A 胜过 B，B 胜过 C，则 A 也能胜过 C。

TT 不相信他的小猫咪什么比赛都能预测，因此他想知道有多少对选手的胜负无法预先得知，你能帮帮他吗？

Input
第一行给出数据组数。
每组数据第一行给出 N 和 M（N , M <= 500）。
接下来 M 行，每行给出 A B，表示 A 可以胜过 B。

Output
对于每一组数据，判断有多少场比赛的胜负不能预先得知。注意 (a, b) 与 (b, a) 等价，即每一个二元组只被计算一次。

Sample Input
3
3 3
1 2
1 3
2 3
3 2
1 2
2 3
4 2
1 2
3 4
Sample Output
0
0
4

思路：

我们需要求得有多少对确定的胜负关系，由于题目说胜负关系具有传递性，因此这道题可以转化为一个求传递闭包的问题，而求传递闭包我们可以使用floyd算法。设dis[a][b]为a和b之间的胜负关系。

Floyd-Warshall算法常用于：
求取图中任意两点之间的关系；
多元最短路，任意两点之间的距离关系；
图上的传递闭包任意两点之间的连通关系；

我们首先设立所有的dis[a][b]为0，即最初都不知道他们的胜负关系，然后按照题目输入将对应的元素之间的胜负关系标出dis[a][b]为1。假设dis[i][j]=0，k是这两个点之间可以经历过的点，若是dis[i][k] = 1，且dis[k][j] = 1，则由于传递性可以得到dis[i][j] = 1,因此floyd算法的判断条件可以改为：

if (dis[i][k] == 1 && dis[k][j] == 1)
	{
		dis[i][j] = 1;
	}

注意：
我们在进行循环判断的时候需要进行剪枝，由于题目性质，我们可以得到当dis[i][k]为0的时候，对j的循环是无效的的，即此时dis[i][j]一定为0，所以此时我们可以取消对j的循环。

总结：

Floyd-Warshall算法常用于：
求取图中任意两点之间的关系；
多元最短路，任意两点之间的距离关系；
图上的传递闭包任意两点之间的连通关系；

注意按照题意进行剪枝，减少不必要的循环

Floyd-Warshall算法模块形式

//n为点的数目，dis[i][j]为i和j之间的距离
void Floyd(int n, int **dis)
{
	for(int k = 1; k <= n; k++)
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			for(int j = 1; j <= n; j++)
			dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);

}

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
using namespace std;


int main()
{
	int num;
	scanf_s("%d",&num);
	while (num-- != 0)
	{
		int N, M;
		scanf_s("%d %d", &N, &M);
		vector<vector<int> >dis(N, vector<int>(N, 0));//dis[i][j] = 1表示i可以胜过j
		for (int i = 0; i < M; i++)
		{
			int a, b;
			scanf_s("%d %d", &a, &b);
			dis[a-1][b-1] = 1;
		}
		for (int k = 0; k < N; k++)
			for (int i = 0; i < N; i++)
			{
				if (dis[i][k] == 0)continue;
				for (int j = 0; j < N; j++)
				{
					if (dis[i][j] == 1)continue;
					if (dis[i][k] == 1 && dis[k][j] == 1)
					{
						dis[i][j] = 1;
					}
				}
			}
		int ans = 0;

		for (int i = 0; i < N; i++)
			for (int j = i + 1; j < N; j++)
				if (dis[i][j] == 0 && dis[j][i] == 0)ans++;
		printf_s("%d\n", ans);
	}

}