4D 到 3D 透视投影

我正在尝试计算 3D 世界中 4D 点的位置。我从 2D 开始，尝试将其扩展到 3D，然后再扩展到 4D。首先，我发现计算直线上二维点的投影位置很容易。

Whoops, there should be () in the first equation: x/(a+y)

现在我发现，如果我将 P(X,Y,Z) 拆分为 P1(X,Z) 和 P2(Y,Z)，计算它们的 Q，然后构建一个点，这同样适用于 3D 世界P'(Q1,Q2)（假设我从 C(0,-a) 点看 Z 轴正无穷大并渲染到 XY 平面）。

nx = (a*x)/(a+z);
ny = (a*y)/(a+z);

然后我想这就像添加下一个点 P3 一样简单，并想出了

nx = (a*x)/(a+z);
ny = (a*y)/(a+z);
nw = (a*w)/(a+z);

我觉得这很奇怪，因为 A（新轴）实际上只影响最后一点的 Z，而参考超正方体它应该影响所有维度......

这是行不通的，所以我想问你是否可以提供一些我做错了什么的细节。我很确定这是“点分裂”问题，并且方程应该更复杂。请不要用矩阵和四元数来攻击我。我只想在 (0,-1) 处有一个简单的静态摄像机看着 (0,0)...

谢谢你的帮助！

• in 2D(x,y) y=0 上的投影表示线与线的交点：
  

  x'/a = x/(a+y)
  

• in 3D(x,y,z) z=0 上的投影表示直线与平面的交点：
  

  for y=0: x'/a = x/(a+z)
  for x=0: y'/a = y/(a+z)
  

• in 4D(x,y,z,w) w=0 上的投影表示直线与超平面的交点：
  

  for y=0, z=0: x'/a = x/(a+w)
  for x=0, z=0: y'/a = y/(a+w)
  for x=0, y=0: z'/a = z/(a+w)
  

• ...等等

或者，可以使用参数形式计算直线和超平面的交集，其中直线由以下形式描述：

[px,py,pz,pw] = [p0x,p0y,p0z,p0w] + t * [p1x,p1y,p1z,p1w]

其中参数 t 是任意数字

超平面描述为：

[hx,hy,hz,hw] = [h0x,h0y,h0z,h0w] + a * [h1x,h1y,h1z,h1w] + b * [h2x,h2y,h2z,h2w] + c * [h3x,h3y,h3z,h3w]

现在可以通过求解找到交点：

[px,py,pz,pw] = [hx,hy,hz,hw]

或更明确：

[p0x,p0y,p0z,p0w] + t * [p1x,p1y,p1z,p1w] = [h0x,h0y,h0z,h0w] + a * [h1x,h1y,h1z,h1w] + b * [h2x,h2y,h2z,h2w] + c * [h3x,h3y,h3z,h3w]

有 4 个方程（每个维度 x、y、z、w 一个）和 4 个未知数（a、b、c、t），除非直线平行于超平面，否则可以求解这些方程。

上述思想受到解析几何的影响4D（其中 w 分量代表自己的单独维度）并且它们不应与齐次坐标混淆（其中w组件用于将平移/投影集成到4D矩阵并在图形管道末端附近被透视划分丢弃）。