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消失点(灭点、Vanishing Point)

2023-05-16

目录

定义：

性质：

消失点分为3种 

一条直线的消失点是过摄影中心且平行于该直线的直线与像平面的交点。

地面物体的两个消失点的连线为水平线，提供地平线的信息

应用：

计算焦距和图像中心

求像心

求焦距

 利用灭点恢复相机姿态，至少需要找到两个互相垂直方向上的灭点。

最近在看Cube-SLAM和相机标定都看到了消失点，之前没了解过，花了些时间学习了下。

定义：

消失点：指的是 立体图形各条平行边的延伸线所产生的相交点。因为空间中的平行线经透视变换后均相较于一点。例如下图的轨道包含若干条平行线，在图像上交于一点。

  

空间中直线有多种表示方式，参考：(68条消息) 空间直线的几种方程_空间直线方程_酷酷的Herio的博客-CSDN博客

直线L经过点M_0(\:x_0\:,y_0\:,z_0\:)且平行于向量s,则直线上一点M(\:a\:,b\:,c\:)可使用参数方程可表示为：

\begin{cases}\mathrm{x}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{x}_0\:+\mathrm{at}\\ \mathrm{y}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{y}_0\:+\mathrm{bt}\\ \mathrm{z}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{z}_0\:+\mathrm{ct}\end{cases}

根据透射几何，直线上的点在相机像平面上的投影为：

\begin{cases}\frac{\mathrm{z(t)}}{\mathrm{f}}\:=\frac{\mathrm{x(t)}}{\mathrm{u}}\\ \frac{\mathrm{z(t)}}{\mathrm{f}}\:=\frac{\mathrm{y(t)}}{\mathrm{v}}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\mathrm{u}=\frac{\mathrm{f(x_0+at)}}{\mathrm{z_0+ct)}}\\ \mathrm{v}=\frac{\mathrm{f(y_0+bt)}}{\mathrm{z_0+ct}}\end{cases}

其中f为焦距，当t\rightarrow\infty时，\begin{cases}\mathrm{u}=\frac{\mathrm{fa}}{\mathrm{c}}\\ \mathrm{v}=\frac{\mathrm{fb}}{\mathrm{c}}\end{cases}

 若c 等于 0，意味着 z 值不变。假设我像这样拿着相机，我的像平面是垂直的，空间直线与相机z 轴是垂直的，直线上点的z值不变，则表示世界上的直线与我的像平面平行。它不会离得更远或更近，它会保持平行，这些线都会保持平行线。这就是为什么我说世界上几乎所有的平行线都收敛于一点。如果平行线是垂直的或与像平面对齐的，它们不会收敛。

以上推导说明空间中的不垂直于相机光轴的平行线在图像上均相交于一点，该交点即为消失点，且消失点在图像上的位置仅与平行线的方向有关

参考：灭点_cc514981717的博客-CSDN博客
(68条消息) 14.图像透视——投影几何性质，平行线（Parallel Lines），消失点（Vanishing Point）_3_Tom Boom的博客-CSDN博客

(69条消息) 计算机视觉教程1-3：图解透视几何原理(灭点、灭线)_Mr.Winter`的博客-CSDN博客 

性质：

注：以下仅讨论不垂直于相机光轴的空间直线

消失点分为3种 

透视是什么？一点、两点、三点透视 - 知乎 (zhihu.com)

一条直线的消失点是过摄影中心且平行于该直线的直线与像平面的交点。

这也是，灭点的几何意义。

因为过摄影中心的平行直线在像平面上的成像仅为该消失点(M_0(\ x_{0}=0\:,y_{0}=0\:,z_{0}=0\:)\:)，而每条平行线均应通过该消失点，说明该点即为消失点，也即所有平行的直线在像平面的投影均相交于该点。

地面物体的两个消失点的连线为水平线，提供地平线的信息

假设地面物体包含平行于地面的结构线，并形成了两个消失点，那么这两个消失点和相机光心组成的平面平行于地面（两对平行的相交直线所构成平面平行），那么该平面与像平面的交线即为图像上的地平线，这两个消失点就在交线上，所以两个消失点的连线属于地平线。

也即消失点定义的推论1：位于空间中一个平面内的直线的灭点，是过投影中心且与该平面平行的平面与像平面的交线。推论2：空间中与某平面平行的直线的灭点在一条直线上。

应用：

计算焦距和图像中心

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

求像心

H是垂心（三条高线的交点），并且所有三个角度AOB，BOC和COA均为直角，则OH垂直于ABC平面！

说明OH为相机光轴，所以H为像心。

求焦距

在这里插入图片描述

以上公式为垂心的性质，参考： (68条消息) 3月3日 单灭点、双灭点、单应矩阵求解相机姿态，世界坐标-相机坐标-图像坐标-像素坐标四个坐标系的变换关系，通过Vanishing Points计算焦距和像心_灭点求外参_Hali_Botebie的博客-CSDN博客

 利用灭点恢复相机姿态，至少需要找到两个互相垂直方向上的灭点。

在这里插入图片描述

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在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

参考：(68条消息) 3月3日 单灭点、双灭点、单应矩阵求解相机姿态，世界坐标-相机坐标-图像坐标-像素坐标四个坐标系的变换关系，通过Vanishing Points计算焦距和像心_灭点求外参_Hali_Botebie的博客-CSDN博客 

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Vanishing

Point

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