确定任意命题公式中变量的上/下界[关闭]

给定一个任意命题公式 PHI（某些变量的线性约束），确定每个变量的（近似）上限和下限的最佳方法是什么？

有些变量可能是无界的。在这种情况下，算法应该得出结论：这些变量没有上限/下限。

例如，PHI = (x=3 AND y>=1)。 x 的上限和下限均为 3。y 的下限为 1，并且 y 没有上限。

这是一个非常简单的例子，但是有通用的解决方案吗（也许使用 SMT 求解器）？

这假设每个变量的 SAT/UNSAT 域是连续的。

1. 使用 SMT 求解器检查公式的解。如果没有解决方案，则意味着没有上限/下限，因此停止。
2. 对于公式中的每个变量，在变量的域上进行两次二分搜索，一次搜索下界，另一个搜索上限。每个变量搜索的起始值是步骤 1 中找到的解决方案中的变量值。使用 SMT 求解器探测每个搜索值的可满足性，并有条理地对每个变量的边界进行括号。

搜索函数的伪代码，假设整数域变量：

lower_bound(variable, start, formula)
{
    lo = -inf;
    hi = start;
    last_sat = start;
    incr = 1;
    do {
        variable = (lo + hi) / 2;
        if (SMT(formula) == UNSAT) {
            lo = variable + incr;
        } else {
            last_sat = variable;
            hi = variable - incr;
        }
    } while (lo <= hi);
    return last_sat;
}

and

upper_bound(variable, start, formula)
{
    lo = start;
    hi = +inf;
    last_sat = start;
    do {
        variable = (lo + hi) / 2;
        if (SMT(formula) == SAT) {
            last_sat = variable;
            lo = variable + incr;
        } else {
            hi = variable - incr;
        }
    } while (lo <= hi);
    return last_sat;
}

-inf/+inf 是每个变量的域中可表示的最小/最大值。如果 lower_bound 返回 -inf 则该变量没有下限。如果 upper_bound 返回 +inf 则该变量没有上限。