理解与证明“线性无关的特征向量的个数=若当块个数”

1.1 问题

若当标准形中，有一条性质说：一个矩阵的线性无关的特征向量个数等于其若当标准形的若当块个数。结论是简洁的，证明是有复杂的。

1.2 理解与证明

首先说明，以下的 n n n 阶方阵 A A A 是满秩的。

对于 n n n 阶方阵 A A A，总存在相似的若当标准形矩阵，即存在非奇异矩阵 P P P 与若当标准形 J J J，使得：

P − 1 A P = J (1.1) P^{-1}AP=J \tag{1.1} P−1AP=J(1.1)

进而可得：
A = P J P − 1 (1.2) A=PJP^{-1} \tag{1.2} A=PJP−1(1.2)

设矩阵 A A A 的其中一个特征根为 λ \lambda λ，与 λ \lambda λ 对应的特征向量为 x x x，则：
A x = λ x (1.3) Ax = \lambda x \tag{1.3} Ax=λx(1.3)

即：

( λ I − A ) x = 0 (1.4) (\lambda I - A) x = 0 \tag{1.4} (λI−A)x=0(1.4)

将 I = P P − 1 I=PP^{-1} I=PP−1 与 A = P J P − 1 A=PJP^{-1} A=PJP−1 代入可得：

( λ P P − 1 − P J P − 1 ) x = 0 (1.5) (\lambda PP^{-1}- PJP^{-1}) x = 0 \tag{1.5} (λPP−1−PJP−1)x=0(1.5)

整理得：
P ( λ I − J ) P − 1 x = 0 (1.6) P(\lambda I- J)P^{-1} x = 0 \tag{1.6} P(λI−J)P−1x=0(1.6)

两边同时左乘 P − 1 P^{-1} P−1 且令 y = P − 1 x y = P^{-1}x y=P−1x 可得：
( λ I − J ) y = 0 (1.7) (\lambda I- J)y = 0 \tag{1.7} (λI−J)y=0(1.7)

其中， y y y 是 x x x 的线性变换，且有 x = P y x = Py x=Py。

设若当标准形 J J J 共有 r r r 个若当块。一个特征值出现在一个或多个若当块里，不妨设 λ = λ 1 \lambda = \lambda_1 λ=λ1​ 同时出现在 J 1 , . . . , J k ( 1 ≤ k ≤ r ) J_1, ..., J_k(1 \le k \le r) J1​,...,Jk​(1≤k≤r) 中，此时 R ( λ 1 I − J 1 , . . . , k ) = m 1 , . . . , k − k R(\lambda_1 I - J_{1,...,k}) = m_{1,...,k}-k R(λ1​I−J1,...,k​)=m1,...,k​−k。其中， m 1 , . . . , k m_{1,...,k} m1,...,k​ 为前 k k k 个若当块组成的矩阵的秩。此时， ( λ 1 I − J 1 , . . . , k ) y 1 , . . . , k = 0 (\lambda_1 I- J_{1,...,k} )y_{1,...,k} = 0 (λ1​I−J1,...,k​)y1,...,k​=0 有 k k k 个自由的变量，而 ( λ 1 I − J i ) y i = 0 ( i = k + 1 , . . . , r ) (\lambda_1 I- J_{i} )y_i= 0(i=k+1,...,r) (λ1​I−Ji​)yi​=0(i=k+1,...,r) 的解都为零。合起来， ( λ 1 I − J ) y = 0 (\lambda_1 I- J)y = 0 (λ1​I−J)y=0 共有 k k k 个线性无关的解。可见，一个特征向量出现在 k k k 个若当块中， ( λ i I − J ) y = 0 (\lambda_i I- J)y = 0 (λi​I−J)y=0 就有 k k k 个线性无关的解。由于 x = P y x=Py x=Py， k k k 个 y y y 对应 k k k 个 x x x，矩阵 A A A 也就有 k k k 个线性无关的特征向量。若当块数量和线性无关的特征向量的数量一致。

最后这段话比较抽象，不妨看几个例子：

假设一个三阶的若当块，分几种情况讨论。

1. 一个特征值只出现在一个Jordan块里，设有三个不同的特征值 λ 1 , λ 2 , λ 3 \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 λ1​,λ2​,λ3​，则：
   J = [ λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 ] J=\left [\begin {array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{array} \right ] J=⎣⎡​λ1​00​0λ2​0​00λ3​​⎦⎤​容易发现，该系统共有 3 个Jordan块， λ 1 \lambda_1 λ1​ 出现 J 1 J_1 J1​ 里， R ( λ 1 I − J 1 ) = 0 R(\lambda_1 I - J_1) = 0 R(λ1​I−J1​)=0， ( λ 1 I − J 1 ) y 1 = 0 (\lambda_1 I - J_1 )y_1 = 0 (λ1​I−J1​)y1​=0 有非零解。 R ( λ 1 I − J 1 ) = 2 R(\lambda_1 I - J_1) = 2 R(λ1​I−J1​)=2， ( λ 2 , 3 I − J 2 , 3 ) y 2 , 3 = 0 (\lambda_{2,3} I - J_{2,3} )y_{2,3} = 0 (λ2,3​I−J2,3​)y2,3​=0只有零解，因此 ( λ 1 I − J ) y = 0 (\lambda_1 I - J )y = 0 (λ1​I−J)y=0 有一组线性无关的解 y = [ a , 0 , 0 ] ( a ≠ 0 ) y=[a, 0, 0](a\neq 0) y=[a,0,0](a​=0)。同理， ( λ 2 I − J ) y = 0 (\lambda_2 I - J )y = 0 (λ2​I−J)y=0， ( λ 3 I − J ) y = 0 (\lambda_3 I - J )y = 0 (λ3​I−J)y=0 各有一组线性无关的非零解。因此式(1.7) 共有3个线性无关的解，又 x = P y x = Py x=Py，故矩阵 A A A 共有3个线性无关的特征向量，与Jordan块数量一致。

2. 一个特征值只出现在一个Jordan块里，且有想同的特征值 λ 1 , λ 1 , λ 2 \lambda_1, \lambda_1, \lambda_2 λ1​,λ1​,λ2​，则：
   J = [ λ 1 1 0 0 λ 1 0 0 0 λ 2 ] J=\left [\begin {array}{ccc} \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{array} \right ] J=⎣⎡​λ1​00​1λ1​0​00λ2​​⎦⎤​ λ = λ 1 \lambda = \lambda_1 λ=λ1​ 时， ( λ 1 I − J 1 ) y 1 = 0 (\lambda_1 I - J_1)y_{1} = 0 (λ1​I−J1​)y1​=0 的解为 y 1 = [ a , 0 ] y_{1}=[a, 0] y1​=[a,0]， ( λ 1 I − J 2 ) y 2 = 0 (\lambda_1 I - J_2 )y_2 = 0 (λ1​I−J2​)y2​=0的解为 0。合起来， ( λ 1 I − J ) y = 0 (\lambda_1 I - J )y = 0 (λ1​I−J)y=0 的解为 y = [ a , 0 , 0 ] ( a ≠ 0 ) y=[a, 0, 0](a \neq 0) y=[a,0,0](a​=0)。同理， ( λ 2 I − J ) y = 0 (\lambda_2 I - J )y = 0 (λ2​I−J)y=0有一个解。共得到两个线性无关的解，相应地， x = P y x=Py x=Py，矩阵 A A A 有两个线性无关的特征向量，和若当块数量一致。

3. 一个特征值只出现在多个Jordan块里，且有想同的特征值 λ 1 , λ 1 , λ 2 \lambda_1, \lambda_1, \lambda_2 λ1​,λ1​,λ2​，则： J = [ λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 2 ] J=\left [\begin {array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{array} \right ] J=⎣⎡​λ1​00​0λ1​0​00λ2​​⎦⎤​则 ( λ 1 I − J 1 , 2 ) y 1 , 2 = 0 (\lambda_1 I - J_{1,2})y_{1,2} = 0 (λ1​I−J1,2​)y1,2​=0 共有两个自由解， ( λ 1 I − J 3 ) y 3 = 0 (\lambda_1 I - J_{3})y_{3} = 0 (λ1​I−J3​)y3​=0 有零解，合起来， ( λ 1 I − J ) y = 0 (\lambda_1 I - J)y = 0 (λ1​I−J)y=0 有两个线性无关的解。而 ( λ 2 I − J ) y = 0 (\lambda_2 I - J)y = 0 (λ2​I−J)y=0 有一个线性无关的解。 ( λ i I − J ) y = 0 ( i = 1 , 2 ) (\lambda_i I - J)y = 0(i=1,2) (λi​I−J)y=0(i=1,2) 共有 3 个线性无关的解，相应地， x = P y x=Py x=Py，矩阵 A A A 有3 个线性无关的特征向量。

— 完 —