能控性和能观性是线性系统学习中非常重要的部分，“它们是研究控制问题和滤波问题所必需的”。今儿先来说能控性。
一、能控性是啥？
定义6.1 若对任意初始状态
x
(
0
)
=
x
x(0)=x
x(0)=x和任意终止状态
x
1
x_{1}
x1存在某个输入，在有限时间内能将状态从
x
0
x_{0}
x0转移到
x
1
x_{1}
x1则称状态方程或矩阵对
(
A
,
B
)
(A,B)
(A,B)“能控”。否则称方程或矩阵对
(
A
,
B
)
(A,B)
(A,B)“不能控”。
说人话：输入u对状态x能不能管事儿了？对每个状态变量都管得着就是能控，要有管不着的状态变量就是不能控。
还是先把状态方程摆上。
x
(
t
)
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
x(t)=Ax(t)+Bu(t)
x(t)=Ax(t)+Bu(t)
可见对某时刻状态影响的有两部分：前时刻的状态 和 前时刻的输入。直观的想，能控性是有了“某状态”，往前时刻找，前时刻的输入能不能使系统达到这个“某状态”。
把系统抽象成状态方程，上面的就解释为与A对应的B是不是存在零行/线性相关。
二、能控性的判定依据？
对于线性定常（时不变）系统，完全能控的充要条件有：
1）如果系统(A,B)具有两两相异的特征值，状态完全能控
⇔
\Leftrightarrow
⇔其对角标准形式
x
~
˙
=
λ
1
0
λ
2
⋱
0
λ
n
x
~
+
B
~
u
\dot{\tilde{x}}=\begin{matrix} \lambda_{1} & & & 0 \\ & \lambda_{2} \\ & & \ddots\\ 0 & & &\lambda_{n} \end{matrix} \tilde{x}+ \tilde{B} u
x~˙=λ10λ2⋱0λnx~+B~u中，输入矩阵
B
~
\tilde{B}
B~中不存在全零的行。
2）当系统(A,B)具有重特征值，系统状态完全能控
⇔
\Leftrightarrow
⇔其经非奇异变换后的约当标准形式
x
~
˙
=
J
1
0
J
2
⋱
0
J
K
x
~
+
B
~
u
\dot{\tilde{x}}= \begin{matrix} J_{1} & & & 0 \\ & J_{2} \\ & & \ddots\\ 0 & & & J_{K} \end{matrix} \tilde{x}+ \tilde{B} u
x~˙=J10J2⋱0JKx~+B~u
和每个约当块最后一行相对应的那些行其元素不全为零。
3）当系统的约当行存在多个约当块对应同一个特征值时，状态完全能控
⇔
\Leftrightarrow
⇔
A
~
\tilde{A}
A~对应的
B
~
\tilde{B}
B~中相等特征值的全部约当块末行的那些行之间线性无关.
上面三个模态判据与前面我们说的直观感受相符。下面是三个看上去比较高级的,对时变系统有效的判据。
4）(格拉姆Gramian矩阵判据)
n
⋅
n
n \cdot n
n⋅n格拉姆矩阵对任意
t
>
0
t>0
t>0非奇异。
W
c
(
t
)
=
e
A
τ
B
B
′
e
A
τ
d
τ
=
e
A
(
t
−
τ
)
B
B
′
e
A
(
t
−
τ
)
d
τ
W_{c}(t)=e^{A \tau}BB'e^{A \tau}d\tau=e^{A (t-\tau)}BB'e^{A(t-\tau)}d\tau
Wc(t)=eAτBB′eAτdτ=eA(t−τ)BB′eA(t−τ)dτ
5）(秩判据)
n
⋅
n
p
n \cdot np
n⋅np的能控性矩阵行满秩(秩为n)。
Q
=
B
A
B
⋯
A
n
−
1
B
Q=\begin{matrix} B & AB \cdots A^{n-1}B \end{matrix}
Q=BAB⋯An−1B
6）(PBH判据)
n
⋅
(
n
+
p
)
n \cdot (n+p)
n⋅(n+p)的矩阵[A-I B]在A的任意特征值上均行满秩。
对代数等价系统，能控性矩阵变化
Q
~
=
T
−
1
Q
\tilde{Q}=T^{-1}Q
Q~=T−1Q。故坐标变换后系统的能控性保持不变。
以上判据在赵千川老师讲《线性系统理论》（郑大钟教材，课程视频BV1Sb411q7jU）中均有判据和部分证明讲解，自取。
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