到底什么是幺半群同态？

我读过有关幺半群同态的内容幺半群态射、乘积和余积 http://blog.higher-order.com/blog/2014/03/19/monoid-morphisms-products-coproducts/并且无法100%理解。

作者说（强调原创）：

The length函数映射来自String to Int 同时保留 幺半群结构。这样一个函数，从一个幺半群映射到 另一种以这种方式保存的，称为幺半群同态。在 一般，对于幺半群M and N, 同态f: M => N，以及所有值x:M, y:M，以下方程成立：

f(x |+| y) == (f(x) |+| f(y))

f(mzero[M]) == mzero[N]

他的意思是这样吗，因为数据类型String and Int是幺半群，并且函数length maps String => Int保留幺半群结构（Int是一个幺半群），它被称为幺半群同态，对吧？

他的意思是，数据类型 String 和 Int 是幺半群吗？

No， 两者都不String nor Int是幺半群。幺半群是一个三元组（S、⊕、e）其中 ⊕ 是二元运算符⊕ : S×S ⊕; S，这样对于所有元素a、b、c∈S它认为(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c), and 电子与系统是一个“身份元素”，使得a⊕e=e⊕a=a. String and Int是类型，所以基本上是值的集合，但不是三元组。

文章说：

让我们以String级联 and Int添加作为 例子monoids有关系的。

所以作者显然还提到了二元运算符（(++)的情况下String, and (+)的情况下Int）。身份（如果是空字符串String and 0的情况下Int) 被隐式保留；在非正式英语对话中，将身份留给读者作为练习是很常见的。

Now given that we have two monoid structures (M, ⊕, e_m) and (N, ⊗, e_n), a function f : M → N (like length) is then called a monoid homomorphism [wiki] https://en.wikipedia.org/wiki/Monoid#Monoid_homomorphisms given it holds that f(m₁⊕m₂)=f(m₁)⊗f(m₂) for all elements m₁, m₂∈M and that mapping also preserves the identity element: f(e_m)=e_n.

例如length :: String -> Int是一个幺半群同态，因为我们可以考虑幺半群(String, (++), "") and (Int, (+), 0)。它认为：

1. length (s1 ++ s2) == length s1 + length s2（对全部Strings s1 and s2); and
2. length "" == 0.