图像旋转和频域缩放？

我正在编写一些代码来使用相位相关性来恢复测试图像相对于模板的旋转、缩放和平移，。我对原始测试图像进​​行 FFT，以便找到比例因子和旋转角度，但随后我需要对原始测试图像进​​行 FFT旋转和缩放测试图像以获得翻译。

现在我可以在空间域中应用旋转和缩放，然后进行 FFT，但这似乎有点低效 - 是否可以获得旋转/缩放图像的傅里叶系数directly在频域？

Edit 1:好的，我按照 user1816548 的建议进行了尝试。对于 90o 的倍数角度，我可以获得看起来模糊的合理旋转，尽管图像的极性有奇怪的变化。不是 90o 倍数的角度给我带来了相当滑稽的结果。

Edit 2:我对图像应用了零填充，并且在旋转图像时包裹了 FFT 的边缘。我非常确定我正在围绕 FFT 的 DC 分量旋转，但对于不是 90o 倍数的角度，我仍然得到奇怪的结果。

输出示例：

可执行的 Numpy/Scipy 代码：

import numpy as np
from scipy.misc import lena
from scipy.ndimage.interpolation import rotate,zoom
from scipy.fftpack import fft2,ifft2,fftshift,ifftshift
from matplotlib.pyplot import subplots,cm

def testFourierRotation(angle):

    M = lena()
    newshape = [2*dim for dim in M.shape]
    M = procrustes(M,newshape)

    # rotate, then take the FFT
    rM = rotate(M,angle,reshape=False)
    FrM = fftshift(fft2(rM))

    # take the FFT, then rotate
    FM = fftshift(fft2(M))
    rFM = rotatecomplex(FM,angle,reshape=False)
    IrFM = ifft2(ifftshift(rFM))

    fig,[[ax1,ax2,ax3],[ax4,ax5,ax6]] = subplots(2,3)

    ax1.imshow(M,interpolation='nearest',cmap=cm.gray)
    ax1.set_title('Original')
    ax2.imshow(rM,interpolation='nearest',cmap=cm.gray)
    ax2.set_title('Rotated in spatial domain')
    ax3.imshow(abs(IrFM),interpolation='nearest',cmap=cm.gray)
    ax3.set_title('Rotated in Fourier domain')
    ax4.imshow(np.log(abs(FM)),interpolation='nearest',cmap=cm.gray)
    ax4.set_title('FFT')
    ax5.imshow(np.log(abs(FrM)),interpolation='nearest',cmap=cm.gray)
    ax5.set_title('FFT of spatially rotated image')
    ax6.imshow(np.log(abs(rFM)),interpolation='nearest',cmap=cm.gray)
    ax6.set_title('Rotated FFT')
    fig.tight_layout()

    pass

def rotatecomplex(a,angle,reshape=True):
    r = rotate(a.real,angle,reshape=reshape,mode='wrap')
    i = rotate(a.imag,angle,reshape=reshape,mode='wrap')
    return r+1j*i

def procrustes(a,target,padval=0):
    b = np.ones(target,a.dtype)*padval
    aind = [slice(None,None)]*a.ndim
    bind = [slice(None,None)]*a.ndim
    for dd in xrange(a.ndim):
        if a.shape[dd] > target[dd]:
            diff = (a.shape[dd]-target[dd])/2.
            aind[dd] = slice(np.floor(diff),a.shape[dd]-np.ceil(diff))
        elif a.shape[dd] < target[dd]:
            diff = (target[dd]-a.shape[dd])/2.
            bind[dd] = slice(np.floor(diff),target[dd]-np.ceil(diff))
    b[bind] = a[aind]
    return b

我不确定这个问题是否已经解决，但我相信我已经解决了您关于第三张图中观察到的效果的问题：

您观察到的这种奇怪的效果是由于您实际计算 FFT 的来源造成的。本质上，FFT 从数组的第一个像素开始M[0][0]。然而，你可以定义你的轮换M[size/2+1,size/2+1]，这是正确的方法，但却是错误的:)。傅里叶域的计算公式为M[0][0]！如果您现在在傅立叶域中旋转，那么您正在围绕M[0][0]并且不在周围M[size/2+1,size/2+1]。我无法完全解释这里到底发生了什么，但你也得到了我以前得到的同样的效果。为了在傅里叶域中旋转原始图像，您必须首先应用 2DfftShift对原始图像M，然后计算FFT，旋转，IFFT然后应用ifftShift。这样，图像的旋转中心和傅里叶域的中心就会同步。

AFAI 记得我们还在两个单独的数组中旋转实部和虚部，然后将它们合并。我们还在复数上测试了各种插值算法，但没有太大效果:)。它在我们的包裹里pytom http://pytom.org.

然而，这可能会导致超级损失，但由于两个额外的移位并不是很快，除非您指定一些时髦的数组索引算法。