关于DH参数上一篇文章介绍了基本概念和物理意义，但是还有一些内容没有提到。这篇文章主要介绍DH坐标系建立的一些技巧。
DH参数本身并不复杂，但是最初我在应用DH参数对机器人建立坐标系时的感受就一个字，乱。乱的原因是比较多的，罗列一下有这么几个点：
那么建立DH坐标系有没有什么技巧呢？还真有，而且很有效。下面我们来介绍一下如何快速建立机器人的DH坐标系。
第一步至关重要，你得首先搞清楚哪个是关节1，哪个是连杆1，与连杆1固连的坐标系1原点在哪里等等。还是想再次强调DH坐标系是建立在连杆的传动轴也就是远离基座的那个轴。因此对于串联机器人来说关节，连杆，坐标系按照距离基座由近到远排列应该是这样的：首先肯定是关节1，其次是安装在关节1上的连杆1，然后是与连杆1固连的坐标系1，之后是关节2。请注意连杆1的坐标系 z 轴轴线实际是连杆2的驱动轴。
我们以一个六轴机器人建立DH坐标系为例，为了方便看清楚各个连杆，我把每个连杆涂成了不同的颜色，如下图所示。
想象一下如果没有给各个连杆涂上颜色，你还能一下子看出所有的连杆吗？你还能一下子区分出连杆1的坐标系应该建立在哪里吗？
第二步我们要确定各个连杆坐标系的 z 轴，这一步实际上是比较容易的，因为按照规则 z 轴应该是和关节轴同向的。所以这里你唯一需要搞清楚的是这些 z 轴分别是固连在哪个连杆上。由于DH参数是在传动轴上建立坐标系的（请原谅我已经无数次在强调这个问题，因为我曾经无数次掉进这个坑里），所以 z 轴肯定是建立在连杆远离基座一侧的那个轴上的。
以下我们把与连杆固连的坐标系涂成与连杆相近的颜色。请先在自己的脑海中构思一下，看看你建立的 z 轴与下面的图是一致的吗。
第三步我们需要确定 x 轴，这一步是最关键也是比较困难的一部分。在这里需要确定的有两点，第一点你需要确定 x 轴的方向第二点你得搞清楚坐标系的原点在哪里，也就是需要确定 x 轴的起始点。
我们先解决第一点。DH坐标系的 x 轴是连杆的驱动轴和传动轴的公垂线。所以 x 轴的方向相对而言是比较容易获得的。我们知道两个不平行的向量的叉乘（外积）就是两个向量的公垂线了。所以我们定义： x i = z i − 1 × z i x_{i}=z_{i-1}\times z_{i} xi=zi−1×zi
这里简单介绍一下公垂线方向的确定：叉乘遵守右手定则，如下图所示，当右手的四指从 a ⃗ \vec{a} a 以不超过180度的转角转向 b ⃗ \vec{b} b 时，竖起的大拇指指向是 c ⃗ \vec{c} c 的方向，即公垂线的方向。
这样你就可以确定连杆坐标系 x 轴的轴线了。最终 x 轴的指向你可以统一让它们指向传动轴。当驱动轴和传动轴平行时也很简单，你只需要画一条与两个轴都垂直且相交的向量，并且这个向量指向传动轴就可以了。
接下来解决第二点。怎么确定坐标系 x 轴的起点（其实就是坐标系原点）。提前说明一下，当连杆的驱动轴和传动轴是异面直线时这个问题是不存在的，因为异面直线的公垂线有且仅有一条，这个时候原点已经随着 x 轴的确定一起确定下来了（就是 x 轴和 z 轴的交点）。
除了异面直线之外，驱动轴和传动轴还有两种关系，一个是平行关系，另一个是相交关系。这两种关系下驱动轴和传动轴的公垂线有无数条。在这个时候要如何确定坐标系的原点呢？
按照DH的规则，两个 z 轴之间公垂线长度代表的是抽象的连杆长度，两个 x 轴的公垂线长度代表的相邻两个连杆之间的偏距。你在确定坐标系原点时就需要考虑这些参数物理含义了。由于 z 轴已经全部确定了， x 轴的方向也确定了，所以这个时候各个连杆的长度也就是DH参数中的 a 已经确定了。那么我们在选择 x 轴的起点时必须要保证经过上一个连杆 i-1 的坐标系绕 z i − 1 z_{i-1} zi−1 轴旋转和沿 z i − 1 z_{i-1} zi−1 轴平移后能让 x i − 1 x_{i-1} xi−1 和 x i x_{i} xi 重合。当你发现经过这样的变换不能让 x i − 1 x_{i-1} xi−1 和 x i x_{i} xi 重合时说明你的连杆 i 坐标系选择的原点有问题。
上面这么说还是太晦涩了，我们举个例子。上面的六轴机器人连杆2的驱动轴和传动轴平行，连杆3的驱动轴和传动轴相交，我们就以这两个连杆为例来说明坐标系原点的确定过程。
在这之前我们还是先把基坐标系和连杆1坐标系确定下来，通常基座的 x 轴指向机器人的正前方。因此基坐标系很容易就确定下来了。连杆1的驱动轴和传动轴是异面直线，因此连杆1的坐标系 x 轴也可以轻松地根据前面提到的叉乘公式确定。这样基座和连杆1的坐标系就确定完了，如下图所示。
接下来的连杆2和连杆3就比较特殊了。当你试图找到
z
1
z_{1}
z1 和
z
2
z_{2}
z2 的公垂线时你发现又无数条。对于这种平行的连杆怎么确定其 x 轴呢？其实很简单，你的连杆 1 坐标系不是已经确定好了嘛，只需要过这个坐标系原点作垂线与
z
2
z_{2}
z2 相交就可以了。这其实是最简单的连杆，不要把这个问题想复杂了就好。如果不相信，你可以按照前面说的规则检验一下。连杆 2 的坐标系确定之后如下图所示。
接下来就是连杆3了，你会发现连杆3的驱动轴和传动轴是相交的。连杆3的
x
3
x_{3}
x3 方向是容易确定的，因为只要驱动轴和传动轴不平行我们就可以利用叉乘公式确定确定 x 轴的方向。但是同样的，这样的 x 轴有无数个，要怎么选择呢？你可以试一下选
z
2
z_{2}
z2 和
z
3
z_{3}
z3 的交点。先告诉各位这是对的。其实可以多找几个点，你会发现无论原点选在除这个点之外的任何地方，你要么需要在某个中间步骤向y轴平移，要么就是最终你需要在 z 轴方向再平移一段。这样我们就确定了连杆3的坐标系，如下图所示。观察后你会发现两个坐标系的原点重合，这说明连杆长度和连杆偏距都为0，这就是此类连杆的一个特点。
后面的连杆4也是类似的，驱动轴和传动轴相交，注意图里面的 z 3 z_{3} z3 很不明显，不要把 z 2 z_{2} z2 当成 z 3 z_{3} z3 哦。叉乘后发现 x 4 x_{4} x4 向下，原点当然也是在 z 3 z_{3} z3 和 z 4 z_{4} z4 的交点。后面的连杆也都大同小异。这里我就不一一介绍了。
最后的六轴机器人DH坐标系建立完成后如下图所示。
最后我们写出这个机器人的DH参数表如下表所示。
| 连杆编号 | θ \theta θ | d d d | a a a | α \alpha α | offset |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | θ 1 \theta_{1} θ1 | d 1 d_{1} d1 | a 1 a_{1} a1 | 9 0 ∘ 90^{\circ } 90∘ | 0 |
| 2 | θ 2 \theta_{2} θ2 | 0 | a 2 a_{2} a2 | 0 | 9 0 ∘ 90^{\circ } 90∘ |
| 3 | θ 3 \theta_{3} θ3 | 0 | 0 | 9 0 ∘ 90^{\circ } 90∘ | 0 |
| 4 | θ 4 \theta_{4} θ4 | d 4 d_{4} d4 | 0 | 9 0 ∘ 90^{\circ } 90∘ | 18 0 ∘ 180^{\circ } 180∘ |
| 5 | θ 5 \theta_{5} θ5 | 0 | 0 | 9 0 ∘ 90^{\circ } 90∘ | 18 0 ∘ 180^{\circ } 180∘ |
| 6 | θ 6 \theta_{6} θ6 | 0 | 0 | 0 | 0 |
关于offset项是叠加在 θ \theta θ 上面的偏置量，你可以理解为机器人处于零位时，驱动轴和传动轴依然存在夹角。
前面感觉啰嗦了很多，不知道有没有说清楚，这里简单总结一下：当连杆驱动轴和传动轴是异面直线，公垂线（唯一）就是连杆的 x 轴；当连杆的驱动轴和传动轴平行时，找到上一个连杆的坐标系原点，向当前连杆的 z 轴作垂线，垂足就是当前连杆原点，垂线就是 x 轴；当连杆的驱动轴和传动轴相交时，交点就是连杆坐标系原点，驱动轴和传动轴的叉乘就是 x 轴方向。
这一块还是需要各位仔细去品味的，相信你经过不断的思考和尝试，一定可以变得通透。写这篇博客挺费力的，作图时间很长，但是我真的在这个过程里受益匪浅，对DH坐标系的理解也更进了一步。如果你一下子还不能完全理解，千万别着急，可以先放着，过几天再看，相信一定会有新的收获。
这篇文章我们主要介绍了DH坐标系建立的一些技巧，下一篇文章会介绍修改DH参数以及和标准DH参数之间的差别。由于个人能力有限，所述内容难免存在疏漏，欢迎指出，欢迎讨论。
下一篇：机器人正运动学（9）—— 修改DH参数
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